Ева болтала, болтала, болтала...

Напомним, что простейший способ приведения периодической дроби с n-значным периодом к несократимому виду заключается в следующем. Нужно взять число, стоящее в периоде, записать его в виде числителя дроби, в знаменателе которой стоят n девяток, и сократить общие множители, если таковые найдутся.

В рассматриваемом примере дробь TALK/9999 после сокращения общих множителей числителя и знаменателя должна совпадать с дробью EVE/DID. Следовательно, число DID — делитель числа 9999. Среди всех делителей числа 9999 лишь у трёх трёхзначных чисел первая и последняя цифры совпадают: у 101, 303 и 909.

Если DID = 101, то EVE/101 = TALK/9999, откуда EVE = TALK/99. Умножив правую и левую части последнего равенства на 99, получим TALK = 99 · EVE. Число EVE не может быть равно 101 (поскольку по предположению DID = 101), а любое число, превосходящее 101, при умножении на 99 даёт пятизначное произведение. Таким образом, предположение о том, что DID = 101, отпадает.

Если DID = 909, то EVE/909 = TALK/9999 и EVE = TALK/11. Умножая обе части последнего равенства на 11, получим TALK = 11 · EVE. Следовательно, последние цифры чисел TALK и EVE должны были бы совпадать вопреки условию задачи. Следовательно, предположение о том, что DID = 909, также отпадает.

Остаётся единственно возможный вариант DID = 303. Поскольку число EVE должно быть меньше 303, E может означать 1 или 2. Из 14 возможных чисел (121, 141, ..., 292) лишь 242 приводит к периодической дроби 0,TALKTALKTALK..., в которой все цифры отличаются от цифр, входящих в числа EVE и DID.

Итак, единственное решение криптарифма имеет вид

Если бы по условию задачи дробь EVE/DID не была приведена к несократимому виду, то криптарифм имел бы второе решение: 212/606 = 0,349834983498....