*

Безводные реки

А теперь маленькая загадка: где есть реки, но нет воды, есть города, но нет зданий и есть леса, но нет деревьев?

Только единицы

Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

Квадраты на сторонах треугольника

На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABDE и BCKL с центрами O1 и O2. M1 и M2 — середины отрезков DL и AC.

Докажите, что O1M1O2M2 — квадрат.

Перестановка цифр в шестизначном числе

В шестизначном числе, которое делится на семь, последнюю цифру переставили в начало. Докажите, что полученное число также делится на семь.

Он Брежнева видел

Возраст человека в 1962 году был на единицу больше суммы цифр года его рождения. Сколько ему лет?

Взаимно простые числа

Числа A и B взаимно просты. Какие общие делители могут иметь числа A + B и A − B?

Многочлен с целыми коэффициентами

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + ... + an — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на pm при любом целом m.

Тест

Учительница дала Саше и Диме контрольную работу. Дима внимательно прочитал все вопросы, отложил бумагу и не ответил ни на один вопрос. Саша долго писал ответы на вопросы. Когда закончился урок, Дима сдал пустой лист, а Саша свою работу. Учительница поставила за контрольную Диме 5, а Саше 3. Почему?

Наименьшее значение

Найдите наименьшее значение выражения (a2 + x2) / x, где a > 0 — константа, а x > 0 — переменная. При этом надо обойтись без дифференцирования.

n единичных чисел

Дано n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно +1 или −1. При этом

x1x2 + x2x3 + ... + xn−1xn + xnx1 = 0.

Докажите, что n делится на 4.

Три ненулевых целых числа

Даны три ненулевых целых числа K, M и N, причём K и M взаимно просты. Докажите, что найдётся такое целое x, что Mx + N делится на K.

Покрытие шахматной доски

Докажите, что шахматную доску 10×10 нельзя покрыть фигурками вида, указанного на рисунке:

Отрезок и луч

Точка C — середина отрезка AB. На произвольном луче, проведённом из точки C и не лежащем на прямой AB, выбраны три последовательные точки P, M и Q так, что PM = MQ:

Докажите, что AP + BQ > 2CM.

Точки на плоскости

На плоскости дано 2n точек. Докажите, что их можно попарно соединить так, чтобы отрезки не пересекались.

Предложение не прошло

Предложение не было одобрено на референдуме. Если бы больше людей проголосовало против, его бы одобрили. Как это может быть?

Три квадрата

Переложить в фигуре, показанной на рисунке, пять спичек так, чтобы получилось три квадрата:

Треугольники из спичек

Для составления одного равностороннего треугольника необходимо употребить 3 спички (если их не ломать), а для составления шести равносторонних треугольников, равных между собой, достаточно 12 спичек. Сделайте это.

После того, как вы решите эту задачу, переложите 4 спички с одного места на другое так, чтобы образовалось 3 равносторонних треугольника, из которых только два были бы равны между собой.

Из девяти спичек

Из 9 спичек составить 6 квадратов.

Флюгер

Флюгер составлен из десяти спичек. Переложить четыре спички так, чтобы получился дом.

Две рюмки

Две рюмки составлены из десяти спичек:

Переложить шесть спичек так, чтобы получился дом.

Греческий храм

Этот храм построен из одиннадцати спичек:

Требуется переложить четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.

Строго прямо

При строительстве нового шоссе N было строго указано, что каждый десятый километр должен быть абсолютно прямым. Зачем?

Уравнение с целыми частями

Решите уравнение X 3 − [X] = 3.

Здесь [X] означает «целая часть» числа X, то есть наибольшее целое число, не превосходящее X.

Выборка из нечётного числа предметов

Дано 2n + 1 различных предметов. Докажите, что из них можно выбрать нечётное число предметов столькими же способами, сколькими чётное.

Деление на 37

Трёхзначное число ABC делится на 37. Докажите, что сумма чисел BCA и CAB тоже делится на 37.

Шесть разгневанных мужчин

Докажите, что из любых шести человек всегда найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых между собой.

Из M в N

Два человека A и B должны попасть из пункта M в пункт N, расположенный в 15 км от M. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. A и B отправляются из M одновременно: A — пешком, а B едет на велосипеде до встречи с пешеходом C, идущим из N в M. Дальше B идёт пешком, а C едет на велосипеде до встречи с A, передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в N. Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы A и B прибыли в N одновременно, если он идёт с той же скоростью, что A и B?

Трое рабочих

Некоторую работу могут выполнить трое рабочих. Второй и третий могут вместе выполнить её в два раза быстрее первого; первый и третий могут вместе выполнить её в три раза быстрее второго. Во сколько раз первый и второй могут выполнить эту работу быстрее, чем третий?

Пакетик для гольфа

Во время соревнований по гольфу мяч Пола угодил в бумажный пакетик, который ветром вынесло на поле. Ему сказали, что он либо должен играть мячиком в этом пакетике, либо вынуть мячик из пакетика и в качестве штрафа — пропустить один ход. Что он сделал?

Сумма квадратов

Найти n + 1 последовательных чисел, сумма квадратов которых равна сумме квадратов следующих n чисел.

Страницы

Подписаться на Задачи и головоломки RSS