*

9 десятью цифрами

При помощи десяти различных цифр можно составить шесть таких дробей, что каждая из них будет равна 9.

Три дроби таковы:

9 = 97 524 / 10 836 = 95 823 / 10 647 = 57 429 / 06 381

Найдите остальные три.

Все за одну

Если одна цифра 2, употреблённая не более 5 раз, или одна цифра 4, употреблённая не более четырёх раз, в состоянии заменить собой любую из цифр от 1 до 9, то и вся эта дружная семья цифр не останется в долгу.

Участвуя всей семьёй сразу (но без нуля), они могут заменить собой любую цифру своего же семейства.

Вот так, например, они заменяют 2 и 4:

2 = 13 458 / 6729

4 = 15 768 / 3942

Каждая из этих неправильных дробей содержит все цифры от 1 до 9, причём каждую только по одному разу.

Составляя аналогичные дроби из тех же цифр и употребляя каждую цифру только по одному разу, вы можете образовать числа 3, 5, 6, 7, 8 и 9, то есть все остальные однозначные числа, кроме 1.

Для изображения 1 посредством девяти цифр надо придумать особый способ.

Одна за всех

Обобщим предыдущую задачу.

Изобразить целое число при помощи ровно четырёх любых одинаковых цифр, соединяя их математическими знаками. Это значит: изобразить число четырьмя цифрами так, чтобы при замене этих цифр четвёркой любых других одинаковых цифр (кроме нуля) получилось то же число. Например:

3 = (n + n + n) : n

При этом разрешается употреблять знаки сложения, вычитания, умножения и деления, скобки. Если этих знаков окажется недостаточно, то ещё

  1. знак квадратного радикала: √ ;
  2. знак факториала: ! (этот знак ставится справа от числа и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно; например 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120)
  3. точку перед числом (на уровне строки), например .4 (так иногда обозначают десятичную дробь: .4 = 0,4);
  4. точку перед числом и над числом, например .4̇ (так иногда обозначают периодическую дробь: .4̇ = 0,(4) = 4/9)

Известны решения этой задачи для любых целых чисел от 1 до 21, кроме 14.

Четырьмя четвёрками

Изобразите все целые числа от 1 до 10 с помощью четырёх цифр 4.

Пятью двойками

Запишите каждое из чисел от 1 до 26 с помощью только пяти двоек, пользуясь для этого четырьмя арифметическими действиями, возведением в квадрат и скобками.

Примечание: Изобразить число 27 пятью двойками при таких условиях не получится.

Мусор

Мусор вывезли, и умер мужчина. Почему?

Снять две спички

Фигура, изображённая на рисунке, составлена из восьми спичек, наложенных друг на друга. Снять 2 спички так, чтобы осталось 3 квадрата.

Без уравнений

Следующие две задачи надо решить с помощью «чистых» рассуждений, без использования уравнений.

1. Если некоторое двузначное число прочесть справа налево, то полученное «обращённое» число будет в 4,5 раза больше данного. Что это за число?

2. Произведение четырёх последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.

От противного

Следующие две задачи надо решить рассуждением «от противного»:

1. Произведение двух целых чисел больше 75. Доказать, что хотя бы один из сомножителей больше 8.

2. Произведение некоторого двузначного числа на 5 — тоже двузначное число. Доказать, что первая цифра данного множимого есть 1.

Уголовная история

У учительницы одной из начальных школ штата Нью-Йорк пропал кошелёк. Украсть кошелёк мог только кто-нибудь из 5 учеников: Лилиан, Джуди, Дэвид, Тео или Маргарэт.

При опросе этих детей каждый из них дал по 3 показания:

Лилиан:
1) я не брала кошелёк; 2) я никогда в своей жизни ничего не воровала; 3) это сделал Тео.

Джуди:
4) я не брала кошелёк; 5) мой папа достаточно богат, и я имею свой собственный кошелёк; 6) Маргарэт знает, кто это сделал.

Дэвид:
7) я не брал кошелёк; 8) с Маргарэт я не был знаком до поступления в школу; 9) это сделал Тео.

Тео:
10) я не виновен; 11) это сделала Маргарэт; 12) Лилиан лжёт, утверждая, что я украл кошелёк.

Маргарэт:
13) я не брала кошелёк учительницы; 14) в этом виновна Джуди; 15) Дэвид может поручиться за меня, так как знает меня с рождения.

При дальнейшем расспрашивании каждый из учеников признал, что из сделанных им трёх заявлений два верных и одно неверное.

Определите, кто из учеников украл кошелёк своей учительницы.

Во сколько раз больше?

Если от каждого из двух чисел отнять половину меньшего из них, то остаток от большего будет втрое больше остатка от меньшего.

Во сколько раз большее число больше меньшего?

Встречные поезда

Два пассажирских поезда, оба длиной по 250 м, идут навстречу друг другу с одинаковой скоростью 45 км/час. Сколько секунд пройдёт после того, как встретились машинисты, до того, как встретятся кондукторы последних вагонов?

Найдена задушенной

Известная танцовщица была найдена задушенной. Полиция не заподозрила, что это убийство.

Почему?

Охотники

Три охотника несколько дней подряд провели в тайге на охоте.

В последний день охоты утром случилась неприятность: переходя вброд небольшую речушку два охотника подмочили свои патронташи. Часть их патронов оказалась негодной к употреблению. Три друга поровну поделили между собой сохранившиеся патроны.

После того как каждый охотник сделал четыре выстрела, у всех охотников вместе осталось столько патронов, сколько было после дележа у каждого.

Сколько всего пригодных патронов было в момент дележа?

На пружинных весах

Имеется несколько пружинных весов. Предельная нагрузка для пружинных весов — 5 кг. Как, пользуясь только пружинными весами, взвесить брус, вес которого на глаз 15 — 20 кг?

Развешивание крупы

В пакете содержится 9 кг крупы. Требуется при помощи чашечных весов с гирями в 50 и 200 г распределить всю крупу по двум пакетам: в один — 2 кг, в другой — 7 кг. При этом разрешается произвести только 3 взвешивания.

Разрезание чёрного куба

Представьте себе деревянный куб со стороной 3 см, вся поверхность которого окрашена в чёрный цвет.

  1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 см?
  2. Сколько получится таких кубиков?
  3. Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
  4. Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
  5. Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
  6. Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
  7. Сколько кубиков будет неокрашенных?

Спички вокруг монеты

Требуется снять все спички, кроме той, которая обращена головкой к монете, соблюдая следующее условие: сначала снять одну спичку, а затем, двигаясь вправо по кругу, снимать каждую тринадцатую спичку.

Какую спичку надо снять первой?

Сто пятью последовательными цифрами

Записать число 100, используя по разу каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5. Порядок цифр изменять не разрешается.

Торонто

Что вы наверняка найдёте в середине Торонто?

Разрезать трапецию на четыре равные части

Как разрезать равносторонний треугольник на 4 равные части, видно из рисунка:

Если удалить верхний треугольник, то оставшиеся 3 треугольника образуют трапецию:

Попробуйте её разрезать тоже на 4 равные части.

Разрезать «ракету» на четыре равные части

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на 4 равных четырёхугольника:

Одна седьмая

Из семи спичек выложено число 1/7:

Превратите эту дробь в число 1/3, не прибавляя и не убавляя спичек.

100 из десяти цифр

Употребляя по одному разу каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, составить такие смешанные дроби, сумма которых составила бы 100. (Возможно несколько решений.)

Две дроби из 10 цифр

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составить две равные дроби, сумма которых равна 1. Употребить необходимо все цифры и притом каждую из них только по одному разу. (Возможно несколько решений.)

Пары чисел

Какие два числа при умножении одного на другое и при вычитании одного из другого дают один и тот же результат?

Таких пар чисел неисчислимо много. Как образуются эти пары?

Моисей

Сколько особей каждого вида тварей взял Моисей в свой ковчег?

Девять цифр

Сумма двух чисел, образованных из цифр 1, 3, 5, 7 и 9, равна сумме двух чисел, образованных из цифр 2, 4, 6 и 8. Найдите эти числа, употребляя каждую цифру по одному разу.

Примечание: Применять неправильные дроби при этом не разрешается.

20 двенадцатью цифрами

Написать число 20, употребляя только цифры 1, 3, 5 и 7, причём каждую из них ровно по 3 раза.

20 четырьмя девятками

Написать число 20 при помощи четырёх девяток.

Страницы

Подписаться на Задачи и головоломки RSS