*

Пятьдесят пять

Записать число 55, используя только пять четвёрок.

Сто шестью цифрами

Выразить 100 шестью одинаковыми цифрами.

Тридцать семь

Число 37 записано при помощи пяти троек:

37 = 33 + 3 + 3/3.

Найдите другой способ выразить число 37 при помощи пяти троек.

Пол-ямы

Если двое мужчин могут вырыть две ямы за два дня, то сколько времени потребуется одному мужчине, чтобы вырыть пол-ямы?

На стадионе

Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на равных расстояниях друг от друга. Старт у первого флажка. У восьмого флажка спортсмен был через 8 секунд после начала бега. Через сколько секунд при неизменной скорости он окажется у двенадцатого флажка?

Интересные дроби

Если к числителю и знаменателю дроби 1/3 прибавить её знаменатель, то дробь увеличится вдвое.

Найдите такую дробь, которая от прибавления знаменателя к её числителю и знаменателю увеличилась бы: а) втрое, б) вчетверо.

(Знающие алгебру могут обобщить задачу и решить её с помощью уравнения.)

От 1 до 1 000 000 000

Рассказывают, что когда 9-летнему Гауссу учитель предложил найти сумму всех целых чисел от 1 до 100, 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100, то маленький Гаусс сам сообразил, каким способом можно очень быстро выполнить это сложение.

Надо складывать первое число с последним, второе с предпоследним и так далее. Сумма каждой такой пары чисел равна 101 и повторяется она 50 раз.

Следовательно, сумма всех целых чисел от 1 до 100 будет равна 101 × 50 = 5050.

Этот же приём можно использовать для решения более трудной задачи:

    найти сумму всех цифр у всех целых чисел от 1 до 1 000 000 000.

Обратите внимание: здесь речь идёт не о сумме чисел, а о сумме цифр всех чисел!

Что дороже?

Что дороже: килограмм однорублёвых монет или полкилограмма двухрублёвых монет?

Сто семью цифрами

Расставьте знаки «плюс» между семью числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в сумме получилось 100. Возможны два решения.

Разные действия, один результат

Если между двумя двойками знак сложения заменить знаком умножения, то результат не изменится: 2 + 2 = 2 × 2. Нетрудно подобрать и 3 числа, обладающих тем же свойством: 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3. Найдите 4 однозначных числа, которые, будучи сложены или умножены друг на друга, дают один и тот же результат. Пять таких чисел.

«Оскар» и Олимпийские игры

Кто получил «Оскара» как лучший актёр и Олимпийскую золотую медаль за бег на короткую дистанцию?

Автобусный билет

В автобусе вам попался билет с номером 524127. Попробуйте, не меняя порядка цифр, расставить между ними знаки математических действий так, чтобы в итоге получилось 100.

Коврик

У одной хозяйки был прямоугольный коврик размером 120 на 90 сантиметров. Два противоположных угла его истрепались, пришлось их отрезать (на рисунке эти треугольные куски заштрихованы):

Но хозяйке всё же хотелось иметь коврик в форме прямоугольника. Она поручила мастеру разрезать его на такие две части, чтобы из них можно было сшить прямоугольник, не теряя, конечно, ни кусочка материи. Мастер исполнил желание хозяйки.

Как ему удалось это сделать?

Восстановление записи

В памятной книжке найдена запись:

    За продажу ... кусков сукна по 49 руб. 36 коп. каждый кусок получено ...7 руб. 28 коп.

Эта запись оказалась залитой в некоторых местах чернилами так, что нельзя разобрать ни числа проданных кусков, ни первых трёх цифр полученной суммы. Спрашивается, можно ли по сохранившимся данным узнать число проданных кусков и всю вырученную сумму?

Делёж верблюдов

Старик, имевший трёх сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший — девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали делёж, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, браться обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил по завещанию. Как он это сделал?

2 и 3

Какой знак надо поставить между написанными рядом цифрами 2 и 3, чтобы получилось число, большее двух, но меньшее трёх?

Квадрат из 6 спичек

Положить шесть спичек так, чтобы образовался квадрат.

Президент США

Как звали президента США в 1984 году?

Недоумение крестьянок

Две крестьянки продавали на базаре яблоки. Одна продавала за 1 копейку 2 яблока, а другая за 2 копейки 3 яблока.

У каждой в корзине было по 30 яблок, так что первая рассчитывала выручить за свои яблоки 15 копеек, а вторая 20 копеек. Обе вместе они должны были выручить 35 копеек. Сообразив это, крестьянки, чтобы не ссориться и не перебивать друг у друга покупателей, решили сложить свои яблоки вместе и продавать их сообща, причём они рассуждали так: «Если я продаю пару яблок за копейку, а ты — три яблока за 2 копейки, то, чтобы выручить свои деньги, надо нам, значит, продавать пять яблок за 3 копейки!»

Сказано — сделано. Сложили торговки свои яблоки вместе (получилось всего 60 яблок) и начали продавать по 3 копейки за 5 яблок.

Распродали и удивились: оказалось, что за свои яблоки они выручили 36 копеек, то есть на копейку больше, чему думали выручить! Крестьянки задумались: откуда взялась «лишняя» копейка и кому из них следует её получить? И как, вообще, им поделить теперь все вырученные деньги?

И в самом деле, как это вышло?

Пока эти две крестьянки разбирались в своей неожиданной прибыли, две другие, прослышав об этом, тоже решили заработать лишнюю копейку.

У каждой из них было тоже по 30 яблок, но продавали они так: первая давала за одну копейку пару яблок, а вторая за копейку давала 3 яблока. Первая после продажи должна была, значит, выручить 15 копеек, а вторая — 10 копеек; обе вместе выручили бы, следовательно, 25 копеек. Они и решили продавать свои яблоки сообща, рассуждая совсем так, как и те две первые торговки: если я продаю за одну копейку пару яблок, а ты за копейку продаёшь 3 яблока, то, значит, чтобы выручить свои деньги, нам нужно каждые 5 яблок продавать за 2 копейки.

Сложили они яблоки вместе, распродали их по 2 копейки за каждые 5 штук, и вдруг... оказалось, что они выручили всего 24 копейки, значит, недовыручили целую копейку.

Задумались и эти крестьянки: как же это могло случиться и кому из них придётся этой копейкой поплатиться?

Делёж между тремя

Три купца должны поделить между собой 21 бочонок, из которых 7 бочонков полных кваса, 7 полных наполовину и 7 пустых. Спрашивается, как они могут поделиться так, чтобы каждый имел одинаковое количество кваса и одинаковое количество бочонков, причём переливать квас из бочонка в бочонок нельзя.

Смекалка кузнеца Хечо

Назад тому лет 300 жил в Грузии князь злой и надменный. Была у князя дочь-невеста, Дариджан по имени. Обещал князь свою Дариджан в жёны богатому соседу, а она полюбила простого парня, кузнеца Хечо. Попытались было Дариджан и Хечо убежать в горы от неволи, но поймали их слуги князевы.

Рассвирепел князь и решил назавтра казнить обоих, на ночь же приказал их запереть в высокую, мрачную, заброшенную, недостроенную башню, а вместе с ними ещё и служанку Дариджан, девочку-подростка, которая помогала им бежать.

Не растерялся в башне Хечо, осмотрелся, поднялся по ступенькам в верхнюю часть башни, в окно выглянул — прыгать невозможно, разобьёшься. Тут заметил Хечо около окна забытую строителями верёвку, перекинутую через заржавленный блок, укреплённый повыше окна. К концам верёвки были привязаны пустые корзины, к каждому концу — по корзине. Хечо вспомнил, что при помощи этих корзин каменщики поднимали вверх кирпич, а вниз спускали щебень, причём, если вес груза в одной корзине превышал вес груза в другой примерно на 5 — 6 кг, то корзина довольно плавно опускалась на землю; другая корзина в это время поднималась к окну.

Хечо на глаз определил, что Дариджан весит около 50 кг, служанка не более чем 40 кг. Свой вес Хечо знал — около 90 кг. Кроме того он нашёл в башне цепь весом в 30 кг. Так как в каждой корзине могли поместиться человек и цепь или даже 2 человека, то им всем троим удалось спуститься на землю, причём спускались они так, что ни разу вес опускающейся корзины с человеком не превышал веса поднимающейся корзины более чем на 10 кг.

Как они выбрались из башни?

Бой часов

Сколько ударов в сутки делают часы с боем?

1000 шестью пятёрками

Используя только знаки математических действий и скобки, изобразите тысячу шестью пятёрками.

Четыре треугольника из спичек

Из шести спичек составить четыре равных равносторонних треугольника.

Аквалангисты

Почему аквалангисты, сидя на борту лодки, чтобы войти в воду, заваливаются назад?

На станции железной дороги

Поезд Б приближается к станции железной дороги, но его нагоняет быстрее идущий поезд А, который необходимо пропустить вперёд. У станции от главного пути отходит боковая ветка, куда можно отвести на время вагоны с главного пути, но ветка эта настолько короткая, что на ней не помещается весь поезд Б.

Спрашивается, как всё-таки пропустить поезд А вперёд?

Сумма нечётных чисел

Посмотрите на таблицу:

    1 = 12
    1 + 3 = 4 = 22
    1 + 3 + 5 = 9 = 32
    1 + 3 + 5+ 7 = 16 = 42

Может быть, эта закономерность (сумма подряд стоящих нечётных чисел, начиная с 1, равна квадрату их числа) сохраняется и дальше. Как это проверить?

Решётка из спичек

В изображённой на рисунке фигуре снять восемь спичек так, чтобы: 1) осталось только два квадрата; 2) осталось четыре равных квадрата.

Лестница

В доме 6 этажей. Во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на третий этаж, если пролёты между этажами имеют по одинаковому числу ступенек?

Сломанный циферблат

В музее я видел старинные часы с римскими цифрами на циферблате, причём вместо знакомой нам записи числа четыре (IV) стояли четыре палочки (IIII). Трещины, образовавшиеся на циферблате, делили его на 4 части, как изображено на рисунке:

Суммы чисел в каждой части оказались неодинаковыми: в одной — 21, в другой — 20, третьей — 20, в четвёртой — 17.

Я заметил, что при несколько ином расположении трещин сумма чисел в каждой из четырёх частей циферблата равнялась бы 20. При новом расположении трещин они могут и не проходить через центр циферблата. Найдите это новое расположение трещин.

Страницы

Подписаться на Задачи и головоломки RSS