Геометрические задачи

*

Чёрные брызги

На белую плоскость брызнули чёрной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1965 метрам.

Пять городов

Расстояние от города A до города B (по воздуху) равно 30 км, от B до C — 80 км, от C до D — 236 км, от D до E — 86 км, от E до A — 40 км. Найдите расстояние от E до C.

Покрытие круга

Докажите, что семью кругами радиуса 1 можно покрыть полностью круг радиуса 2, но нельзя покрыть круг большего радиуса.

Единичная квадратная решётка

В единичной квадратной решётке берётся произвольный единичный квадрат. Докажите, что одно из расстояний от произвольного узла решётки до вершин этого квадрата иррационально.

Квадраты на сторонах треугольника

На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABDE и BCKL с центрами O1 и O2. M1 и M2 — середины отрезков DL и AC.

Докажите, что O1M1O2M2 — квадрат.

Отрезок и луч

Точка C — середина отрезка AB. На произвольном луче, проведённом из точки C и не лежащем на прямой AB, выбраны три последовательные точки P, M и Q так, что PM = MQ:

Докажите, что AP + BQ > 2CM.

Точки на плоскости

На плоскости дано 2n точек. Докажите, что их можно попарно соединить так, чтобы отрезки не пересекались.

Разрезание чёрного куба

Представьте себе деревянный куб со стороной 3 см, вся поверхность которого окрашена в чёрный цвет.

  1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 см?
  2. Сколько получится таких кубиков?
  3. Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
  4. Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
  5. Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
  6. Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
  7. Сколько кубиков будет неокрашенных?

Четыре треугольника из спичек

Из шести спичек составить четыре равных равносторонних треугольника.

Как найти длину гипотенузы

Прямоугольный треугольник вписан в четверть окружности так, как показано на рисунке. Можете ли вы, пользуясь лишь теми данными, которые приведены на чертеже, вычислить длину гипотенузы AC?

На размышление даётся одна минута!

Звезда в пятиугольнике

Сколько треугольников в фигуре, изображённой на этом рисунке?

Два параллелограмма

Два параллелограмма расположены, как показано на рисунке:

Докажите, что они равновелики (имеют одинаковую площадь).

4 поворота

Квадрат повёрнут 4 раза, каждый поворот на 90 градусов. Оказалось, что эти четыре поворота можно заменить одним и также на 90 градусов. Как это можно сделать?

Многогранник

Докажите, что у любого многогранника найдутся по крайней мере две грани, являющиеся многоугольниками с равным числом сторон.

Две проекции

На рисунке изображены проекции (вид сверху) двух многогранников:

Никаких невидимых рёбер у них нет. Не кажется ли вам, что эти рисунки относятся к категории невозможных? Почему?

Как измерить диагональ кирпича?

Предложите способ измерения диагонали обыкновенного строительного кирпича с помощью одной лишь рулетки, который легко реализуется на практике. Постарайтесь при этом забыть о теореме Пифагора.

Сечение пирамиды

На рисунке изображена треугольная пирамида, в которой проведено сечение плоскостью:

Объясните, почему такой рисунок на самом деле невозможен.

Из двух квадратов — один

Имеются два квадрата — 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты на части, из которых можно было бы сложить один квадрат.

Если вы справились с этой задачей, то попробуйте решить её в общем виде: перекроить два произвольных квадрата в один.

Теорема Пифагора

Вы не забыли ещё теоремы Пифагора? Существует, вероятно, несколько десятков способов её доказательства. Воспроизведите хотя бы одно.

Перпендикуляр из точки на прямой

Из данной точки A, лежащей на данной прямой l, при помощи только лишь циркуля и линейки восстановить перпендикуляр к прямой l:

При этом нужно выполнить построение, проведя не более трёх линий (третьей линией должна быть искомая прямая).

Кусок мыла

Уезжая в командировку на 9 дней, инженер Додырин взял с собой кусок мыла прямоугольной формы. За неделю командировки кусок по всем направлениям уменьшился вдвое. Хватит ли остатка на последние 2 дня?

Перпендикуляр из точки на прямую

Из данной точки A, лежащей вне данной прямой l, при помощи только лишь циркуля и линейки опустить перпендикуляр на прямую l:

При этом нужно выполнить построение, проведя не более трёх линий (третьей линией должна быть искомая прямая).

Параллельная прямая через заданную точку

Через данную точку A, лежащую вне данной прямой l, при помощи только лишь циркуля и линейки провести прямую, параллельную прямой l:

При этом нужно выполнить построение, проведя не более трёх линий (третьей линией должна быть искомая прямая).

Ещё одно путешествие по замкнутому маршруту

Путешественник вышел из некоторой точки земного шара, прошёл 10 км на север, затем — 10 км на запад, 10 км на юг и 10 км на восток и вернулся в исходную точку. Для каких точек Земли возможно подобное путешествие?

Земной шар, верёвка и мышь

Предположим, что земной шар по экватору обтянут плотно верёвкой. Верёвку увеличили на 1 м. Будем считать, что образовавшийся зазор равномерно распределён по всему экватору. Сможет ли в этот зазор прошмыгнуть мышь?

Разноцветный шестиугольник

Центры O1, O2 и O3 трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1, O2, O3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке:

Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Кирпичик

Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

Шестигранный карандаш

Сколько граней у шестигранного карандаша?

Загадочная телега

Почему передняя ось телеги больше стирается и чаще загорается, чем задняя?

45 точек на прямой

На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB:

Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

Страницы

Подписаться на RSS - Геометрические задачи