Геометрические задачи

*

Слон и лист бумаги

При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон. Или хотя бы бегемот.

Поле со рвом

Четырёхугольное поле окружено рвом, ширина которого всюду одинакова. Даны две узкие доски, длина каждой из которых равна точно ширине рва, и требуется с помощью этих досок устроить переход через ров:

Прямоугольник 199 на 991

Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 × 991?

Треугольник из 10 монет

Расположите 10 монет треугольником:

Чему равно наименьшее число монет, которые необходимо изъять из треугольника, чтобы центры любых трёх оставшихся монет не были расположены в вершинах равностороннего треугольника?

Эту остроумную головоломку с монетами придумал известный японский составитель головоломок Кобон Фуджимура.

Три угла

Не прибегая к тригонометрии, докажите с помощью одной лишь элементарной геометрии, что угол C на рисунке равен сумме углов A и B:

Три отпечатка

Посетитель бара оставил на стойке три отпечатка донышка своего стакана, сделав их так аккуратно, что каждая окружность проходит через центры двух других:

Бармен полагает, что общая часть всех трёх кругов (на рисунке она выделена серым цветом) составляет ¼ площади круга, а посетитель считает, что площадь общей части больше ¼. Кто из них прав?

Трисекция угла и геометрическая прогрессия

Докажите, что поскольку трисекция произвольного угла неосуществима с помощью циркуля и линейки, то ни один член геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... не кратен 3.

Трисекция квадрата

Из вершины квадрата со стороной в 3 см проведены два отрезка прямых, делящих площадь квадрата на три равные части:

Чему равна длина каждого отрезка?

Треугольник и шестиугольник

Равносторонний треугольник и правильный шестиугольник имеют одинаковые периметры. Чему равна площадь шестиугольника, если площадь равностороннего треугольника равна 4?

Три касательные

Из точки C к окружности проведены две касательные:

Отрезки касательных CX и CY равны, и каждый имеет в длину 10 единиц. На окружности между точками касания X и Y наугад выбирается точка P, через которую проводится касательная AB. Чему равен периметр треугольника ABC?

Три точки

Рассмотрим три точки: центр правильного многогранника и любые две из его вершин. Эти три точки копланарны (лежат в одной плоскости). Верно ли аналогичное утверждение для всех неправильных многогранников?

Неправильные многогранники

Правильный выпуклый многогранник можно поставить на горизонтальную плоскость любой гранью. Поскольку центр тяжести правильного многогранника совпадает с его центром, положение его будет устойчиво, на какую бы грань его ни поставили. Нетрудно построить неправильные многогранники, которые, если их поставить некоторыми гранями на горизонтальную плоскость, будут неустойчивы и опрокинутся. Можно ли построить модель такого неправильного многогранника, который будет неустойчив, на какую бы грань его ни поставили?

Два квадрата

Имеются два квадрата: один — со стороной 3 см, другой — со стороной в 4 см:

Вершина D большого квадрата совпадает с центром меньшего квадрата. Больший квадрат поворачивают вокруг вершины D до тех пор, пока точка B пересечения сторон квадратов не разделит сторону AC в отношении 2:1. Какова площадь серой фигуры, по которой перекрываются оба квадрата?

Назойливый поклонник

Одна молодая особа решила покупаться и позагорать на Круглом озере — искусственном водоёме, названном так за идеально круглую форму. Чтобы избавиться от назойливого поклонника, девушка села в лодку и уплыла к центру озера, где на якоре стоял плот. Незадачливый Ромео решил дожидаться на берегу. «Рано или поздно ей всё равно придётся вернуться на берег, — рассуждал он, — а поскольку я бегаю вчетверо быстрее, чем она гребёт, мне удастся встретить её в тот самый момент, когда лодка причалит к берегу».

Попав в затруднительное положение, девушка задумалась над тем, как ей быть. Она знала, что на суше сумеет легко убежать от своего преследователя, а потому необходимо было разработать такую стратегию, которая позволила бы причалить к берегу в точке, до которой не успеет добежать поклонник. После непродолжительных размышлений девушке пришла в голову удачная идея.

Какой стратегии придерживалась девушка? (Предполагается, что в любой момент девушка располагает самыми точными сведениями относительно координат той точки озера, в которой она находится.)

Два арбуза

На рынке продаются два арбуза разных размеров. Один на четверть шире другого, а стоит в полтора раза дороже. Какой из них выгоднее купить?

Распиливание куба

Один плотник решил распилить кубик размером 3 × 3 × 3 см на 27 кубиков с ребром в 1 см. Это делается очень просто: надо распилить куб по шести плоскостям, не разнимая его при этом на куски:

Можно ли уменьшить число распилов, если после каждого из них складывать отпиленные части по-новому?

Эту задачу придумал Ф. Хоуторн.

Путешествие по замкнутому маршруту

Многим из вас, вероятно, известна старая головоломка: «Путешественник проходит один километр на юг, поворачивает, проходит один километр на восток, ещё раз поворачивает, проходит один километр на север и оказывается в том самом месте, откуда вышел. Здесь он метким выстрелом убивает медведя. Спрашивается, какого цвета шкура убитого медведя?»

Если вы решили эту головоломку, то ответьте, сколько всего на земном шаре точек, удовлетворяющих условиям задачи, то есть таких точек, из которых можно пройти один километр на юг, один километр на восток, один километр на север и снова оказаться в самом начале пути?

Три мухи

На потолке комнаты сидели три мухи. Вспугнутые хозяйкой они все одновременно полетели. Какова вероятность, что в какой-то момент времени они вновь окажутся в одной плоскости?

Страницы

Подписаться на RSS - Геометрические задачи