Лёгкие задачи

*

Преобразование последовательности

На доске выписаны все целые числа от 1 до 1966. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность. Докажите, что многократным повторением такой операции нельзя добиться, чтобы на доске остались только нули.

Чёрные брызги

На белую плоскость брызнули чёрной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1965 метрам.

Чисто выбритый

Почему Александр Македонский приказал всем своим воинам побриться?

На лысой резине

Передние покрышки автомобиля стираются через 25 000 км пути, а задние через 15 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно?

В переплётной мастерской

В переплётной мастерской было 92 листа белой бумаги и 135 листов цветной бумаги. На переплёт каждой книги уходило по листу белой и по листу цветной бумаги. После переплёта нескольких книг белой бумаги оказалось вдвое меньше, чем цветной. Сколько книг было переплетено?

Сумма четвёртых степеней

Найдите все целые значения для X и Y такие, чтобы X 4 + 4Y 4 было простым числом.

Отряд пионеров

Отряд пионеров выстроен прямоугольником. В каждой шеренге отмечается самый высокий, и из этих пионеров выбирается самый низкий. В каждом ряду отмечается самый низкий, и из них выбирается самый высокий. Какой из этих двух пионеров выше?

Примечания. Имеется в виду, что два указанных пионера — самый высокий из низких и самый низкий из высоких — должны быть разными. В шеренге стоят плечом к плечу, в ряду стоят в затылок друг другу.

Буквы в таблице 100×100

Имеется таблица 100×100. Каково наименьшее число букв, которые можно расставить в её клетках так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом?

В клетках шахматной доски

В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найдите число, стоящее на поле e2.

Оскорбление и побои

Джон не совершил никакого преступления, но он окружён профессионалами, один из которых начинает его бить, пока он не заплачет. Что происходит?

ATOM × ATOM

Решите следующий числовой ребус:

Здесь цифры заменены буквами и звёздочками. Одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — неодинаковые цифры; звёздочки же поставлены взамен любых цифр, как одинаковых, так и неодинаковых.

Загадочное деление: одинокая восьмёрка

Этот ребус усложнён тем, что не известно даже число цифр делителя, и всё же ребус имеет единственное решение:

8 + 3 − 4 = 0

Нужно переложить одну спичку так, чтобы получилось верное равенство:

МУХА : ХА = УХА

Решите следующий числовой ребус:

Здесь цифры заменены буквами, причём одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — неодинаковые цифры.

Ещё один числовой ребус

Восстановите этот пример умножения, подставив вместо звёздочек подходящие цифры:

Задача имеет единственное решение.

ABC × BAC

Решите следующий числовой ребус:

Здесь цифры заменены буквами и звёздочками. Одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — неодинаковые цифры; звёздочки же поставлены взамен любых цифр, как одинаковых, так и неодинаковых.

Войти в себя

Чему потребовалось 19 лет, чтобы войти в себя?

Сумма трёх квадратов

Сумма трёх целых чисел, являющихся точными квадратами, делится на девять. Докажите, что среди них есть два числа, разность которых делится на девять.

Сумма всех остатков

Некоторое натуральное число A делят с остатком на все натуральные числа, меньшие A. Сумма всех различных (!) остатков оказалась равна A. Найдите A.

Составное число

Докажите, что число 1 + 23456789 — составное.

Двухметровое падение

Мужчина, стоя на асфальте, уронил с высоты двух метров помидор. Овощ даже не помялся. Как это может быть?

Пять городов

Расстояние от города A до города B (по воздуху) равно 30 км, от B до C — 80 км, от C до D — 236 км, от D до E — 86 км, от E до A — 40 км. Найдите расстояние от E до C.

По шоссе и по тропинке

Из пункта A в пункт B вышли два человека. Первый шёл по шоссе со скоростью 5 км/ч, а второй по тропинке со скоростью 4 км/ч. Первый из них пришёл в пункт B на час позже и прошёл на 6 км больше. Найдите расстояние от A до B по тропинке.

k целых чисел

Докажите, что из k целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на k.

Сумма десяти чисел

Сумма десяти чисел рана нулю. Сумма всех их попарных произведений также равна нулю. Докажите, что и сумма кубов этих чисел равна нулю.

Единичная квадратная решётка

В единичной квадратной решётке берётся произвольный единичный квадрат. Докажите, что одно из расстояний от произвольного узла решётки до вершин этого квадрата иррационально.

Безводные реки

А теперь маленькая загадка: где есть реки, но нет воды, есть города, но нет зданий и есть леса, но нет деревьев?

Только единицы

Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

Квадраты на сторонах треугольника

На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABDE и BCKL с центрами O1 и O2. M1 и M2 — середины отрезков DL и AC.

Докажите, что O1M1O2M2 — квадрат.

Перестановка цифр в шестизначном числе

В шестизначном числе, которое делится на семь, последнюю цифру переставили в начало. Докажите, что полученное число также делится на семь.

Страницы

Подписаться на RSS - Лёгкие задачи