Лёгкие задачи

*

Он Брежнева видел

Возраст человека в 1962 году был на единицу больше суммы цифр года его рождения. Сколько ему лет?

Взаимно простые числа

Числа A и B взаимно просты. Какие общие делители могут иметь числа A + B и A − B?

Тест

Учительница дала Саше и Диме контрольную работу. Дима внимательно прочитал все вопросы, отложил бумагу и не ответил ни на один вопрос. Саша долго писал ответы на вопросы. Когда закончился урок, Дима сдал пустой лист, а Саша свою работу. Учительница поставила за контрольную Диме 5, а Саше 3. Почему?

Наименьшее значение

Найдите наименьшее значение выражения (a2 + x2) / x, где a > 0 — константа, а x > 0 — переменная. При этом надо обойтись без дифференцирования.

n единичных чисел

Дано n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно +1 или −1. При этом

x1x2 + x2x3 + ... + xn−1xn + xnx1 = 0.

Докажите, что n делится на 4.

Покрытие шахматной доски

Докажите, что шахматную доску 10×10 нельзя покрыть фигурками вида, указанного на рисунке:

Отрезок и луч

Точка C — середина отрезка AB. На произвольном луче, проведённом из точки C и не лежащем на прямой AB, выбраны три последовательные точки P, M и Q так, что PM = MQ:

Докажите, что AP + BQ > 2CM.

Предложение не прошло

Предложение не было одобрено на референдуме. Если бы больше людей проголосовало против, его бы одобрили. Как это может быть?

Три квадрата

Переложить в фигуре, показанной на рисунке, пять спичек так, чтобы получилось три квадрата:

Треугольники из спичек

Для составления одного равностороннего треугольника необходимо употребить 3 спички (если их не ломать), а для составления шести равносторонних треугольников, равных между собой, достаточно 12 спичек. Сделайте это.

После того, как вы решите эту задачу, переложите 4 спички с одного места на другое так, чтобы образовалось 3 равносторонних треугольника, из которых только два были бы равны между собой.

Из девяти спичек

Из 9 спичек составить 6 квадратов.

Флюгер

Флюгер составлен из десяти спичек. Переложить четыре спички так, чтобы получился дом.

Греческий храм

Этот храм построен из одиннадцати спичек:

Требуется переложить четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.

Строго прямо

При строительстве нового шоссе N было строго указано, что каждый десятый километр должен быть абсолютно прямым. Зачем?

Уравнение с целыми частями

Решите уравнение X 3 − [X] = 3.

Здесь [X] означает «целая часть» числа X, то есть наибольшее целое число, не превосходящее X.

Выборка из нечётного числа предметов

Дано 2n + 1 различных предметов. Докажите, что из них можно выбрать нечётное число предметов столькими же способами, сколькими чётное.

Деление на 37

Трёхзначное число ABC делится на 37. Докажите, что сумма чисел BCA и CAB тоже делится на 37.

Шесть разгневанных мужчин

Докажите, что из любых шести человек всегда найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых между собой.

Из M в N

Два человека A и B должны попасть из пункта M в пункт N, расположенный в 15 км от M. Пешком они могут передвигаться со скоростью 6 км/ч. Кроме того, в их распоряжении есть велосипед, на котором можно ехать со скоростью 15 км/ч. A и B отправляются из M одновременно: A — пешком, а B едет на велосипеде до встречи с пешеходом C, идущим из N в M. Дальше B идёт пешком, а C едет на велосипеде до встречи с A, передаёт ему велосипед, на котором тот и приезжает в N. Когда должен выйти из N пешеход C, чтобы A и B прибыли в N одновременно, если он идёт с той же скоростью, что A и B?

Трое рабочих

Некоторую работу могут выполнить трое рабочих. Второй и третий могут вместе выполнить её в два раза быстрее первого; первый и третий могут вместе выполнить её в три раза быстрее второго. Во сколько раз первый и второй могут выполнить эту работу быстрее, чем третий?

Пакетик для гольфа

Во время соревнований по гольфу мяч Пола угодил в бумажный пакетик, который ветром вынесло на поле. Ему сказали, что он либо должен играть мячиком в этом пакетике, либо вынуть мячик из пакетика и в качестве штрафа — пропустить один ход. Что он сделал?

Четырьмя четвёрками

Изобразите все целые числа от 1 до 10 с помощью четырёх цифр 4.

Мусор

Мусор вывезли, и умер мужчина. Почему?

Снять две спички

Фигура, изображённая на рисунке, составлена из восьми спичек, наложенных друг на друга. Снять 2 спички так, чтобы осталось 3 квадрата.

Без уравнений

Следующие две задачи надо решить с помощью «чистых» рассуждений, без использования уравнений.

1. Если некоторое двузначное число прочесть справа налево, то полученное «обращённое» число будет в 4,5 раза больше данного. Что это за число?

2. Произведение четырёх последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.

От противного

Следующие две задачи надо решить рассуждением «от противного»:

1. Произведение двух целых чисел больше 75. Доказать, что хотя бы один из сомножителей больше 8.

2. Произведение некоторого двузначного числа на 5 — тоже двузначное число. Доказать, что первая цифра данного множимого есть 1.

Уголовная история

У учительницы одной из начальных школ штата Нью-Йорк пропал кошелёк. Украсть кошелёк мог только кто-нибудь из 5 учеников: Лилиан, Джуди, Дэвид, Тео или Маргарэт.

При опросе этих детей каждый из них дал по 3 показания:

Лилиан:
1) я не брала кошелёк; 2) я никогда в своей жизни ничего не воровала; 3) это сделал Тео.

Джуди:
4) я не брала кошелёк; 5) мой папа достаточно богат, и я имею свой собственный кошелёк; 6) Маргарэт знает, кто это сделал.

Дэвид:
7) я не брал кошелёк; 8) с Маргарэт я не был знаком до поступления в школу; 9) это сделал Тео.

Тео:
10) я не виновен; 11) это сделала Маргарэт; 12) Лилиан лжёт, утверждая, что я украл кошелёк.

Маргарэт:
13) я не брала кошелёк учительницы; 14) в этом виновна Джуди; 15) Дэвид может поручиться за меня, так как знает меня с рождения.

При дальнейшем расспрашивании каждый из учеников признал, что из сделанных им трёх заявлений два верных и одно неверное.

Определите, кто из учеников украл кошелёк своей учительницы.

Во сколько раз больше?

Если от каждого из двух чисел отнять половину меньшего из них, то остаток от большего будет втрое больше остатка от меньшего.

Во сколько раз большее число больше меньшего?

Встречные поезда

Два пассажирских поезда, оба длиной по 250 м, идут навстречу друг другу с одинаковой скоростью 45 км/час. Сколько секунд пройдёт после того, как встретились машинисты, до того, как встретятся кондукторы последних вагонов?

Найдена задушенной

Известная танцовщица была найдена задушенной. Полиция не заподозрила, что это убийство.

Почему?

Страницы

Подписаться на RSS - Лёгкие задачи