Лёгкие задачи

*

Чашка кофе

Посетитель ресторана обнаружил в чашке кофе муху и, подозвав официанта, попросил его принести другую чашку кофе. Едва пригубив вновь принесённую чашку, посетитель вне себя от ярости воскликнул:

— Но это та же самая чашка кофе!

Каким образом он распознал «хитрость» официанта?

Треугольник и шестиугольник

Равносторонний треугольник и правильный шестиугольник имеют одинаковые периметры. Чему равна площадь шестиугольника, если площадь равностороннего треугольника равна 4?

Химик и пиджак

Химик обнаружил, что некоторая реакция протекает в течение 80 мин., если он в пиджаке. Если же он без пиджака, то та же самая реакция протекает за 1 час 20 мин. Как вы это объясните?

Начинающим предпринимателям

Сумма в девять тысяч, девять сотен и девять долларов записывается в виде $ 9909. Можете ли вы быстро записать сумму в двенадцать тысяч, двенадцать сотен и двенадцать долларов?

Три касательные

Из точки C к окружности проведены две касательные:

Отрезки касательных CX и CY равны, и каждый имеет в длину 10 единиц. На окружности между точками касания X и Y наугад выбирается точка P, через которую проводится касательная AB. Чему равен периметр треугольника ABC?

Подарок в день рождения

Муж подарил жене в день её рождения миниатюрный усечённый конус, верхнее основание которого слегка выпукло. Конус металлический, позолоченный, поверхность его покрыта небольшими углублениями. Что муж подарил жене?

Три точки

Рассмотрим три точки: центр правильного многогранника и любые две из его вершин. Эти три точки копланарны (лежат в одной плоскости). Верно ли аналогичное утверждение для всех неправильных многогранников?

«Крестики-нолики» на десятиклеточной доске

К доске для игры в обычные крестики и нолики добавлена одна-единственная клетка:

Может ли игрок, делающий первый ход, обеспечить себе на новой доске верный выигрыш?

Два парикмахера

Путешественник, оказавшись случайно в небольшом городке и желая хоть как-то убить время, решил подстричься. В городке имеются лишь два мастера (у каждого из них своя парикмахерская). Заглянув к одному мастеру, путешественник увидел, что в салоне грязно, сам мастер одет неряшливо, плохо выбрит и небрежно подстрижен. В салоне другого мастера было идеально чисто, а владелец его был безукоризненно одет, чисто выбрит и аккуратно подстрижен. Путешественник отправился стричься к первому парикмахеру. Почему?

Квадрат из 16 монет

16 одинаковых монет расположены в шахматном порядке то верх гербом, то вверх решёткой в виде квадрата:

Как, дотронувшись не более чем до двух монет, перестроить квадрат так, чтобы в каждой горизонтали все четыре монеты были обращены вверх либо только гербами, либо только решёткой?

Неправильные многогранники

Правильный выпуклый многогранник можно поставить на горизонтальную плоскость любой гранью. Поскольку центр тяжести правильного многогранника совпадает с его центром, положение его будет устойчиво, на какую бы грань его ни поставили. Нетрудно построить неправильные многогранники, которые, если их поставить некоторыми гранями на горизонтальную плоскость, будут неустойчивы и опрокинутся. Можно ли построить модель такого неправильного многогранника, который будет неустойчив, на какую бы грань его ни поставили?

Каждой африканке по серьгам

Среди жителей некоторой африканской деревни 800 женщин. Три процента из них носят по одной серьге, половина женщин, составляющих остальные 97%, носит по две серьги, а другая половина вообще не носит серег. Сколько серег можно насчитать в ушах у всего женского населения деревни? Задачу следует решать в уме, не прибегая к подручным вычислительным средствам.

Султан Фертилии возвращается

Продолжение предыдущей задачи.

Предположим, что в Фертилии неукоснительно соблюдается воля султана, все родители обладают завидным долголетием, в достаточной мере сохраняют способность к деторождению и заботятся о прибавлении семейства вплоть до появления первого сына (после чего мать семейства утрачивает право на рождение детей). При рождении очередного ребёнка он с вероятностью ½ может быть девочкой и с той же вероятностью мальчиком. Спрашивается, сколько детей в среднем будет у каждой фертилийской матери по истечении достаточно большого промежутка времени?

Султан Фертилии

Султан Фертилии, желая увеличить численность женского населения страны, дабы его подданным было легче пополнять свои гаремы, издал указ, по которому женщинам разрешалось иметь детей лишь до рождения первого сына.

— Повинуясь моему указу, — пояснил свой замысел владыка Фертилии, — женщины не смогут иметь по несколько сыновей. У них может быть четверо дочерей и один сын, десять дочерей и один сын, на худой конец, даже просто единственный сын, но никогда два, а тем более три сына!

Ясно, что соотношение между численностью женского и мужского населения Фертилии на благо мужчин должно изменится в пользу женщин.

Прав ли султан Фертилии?

Два квадрата

Имеются два квадрата: один — со стороной 3 см, другой — со стороной в 4 см:

Вершина D большого квадрата совпадает с центром меньшего квадрата. Больший квадрат поворачивают вокруг вершины D до тех пор, пока точка B пересечения сторон квадратов не разделит сторону AC в отношении 2:1. Какова площадь серой фигуры, по которой перекрываются оба квадрата?

Два брата и стадо овец

Два брата получили в наследства. стадо овец. Продав стадо, они выручили за каждую овцу столько долларов, сколько овец было в стаде. Желая упростить последующие расчёты, братья обменяли все деньги на десятидолларовые купюры. Лишь небольшую сумму (меньше 10 долларов) им пришлось взять серебряными монетами достоинством в 1 доллар. Разложив купюры и монеты на столе, братья приступили к дележу наследства. Каждый из братьев по очереди брал по десятидолларовой купюре до тех пор, пока на столе остались лишь серебряные монеты.

— Так нечестно, — сказал младший из братьев старшему. — Ты взял первую и последнюю купюры. Следовательно, тебе досталось на 10 долларов больше, чем мне.

Чтобы хотя бы частично восполнить ущерб, старший брат предложил младшему взять всё серебро, но младший был по-прежнему недоволен.

— Ты дал мне меньше 10 долларов, — заявил он,— и поэтому должен дать мне ещё.

— Правильно,— согласился старший брат.— Я выпишу тебе чек на такую сумму, что наши доли станут одинаковыми.

Так он и сделал.

Не могли бы вы сказать, на какую сумму выписал чек старший брат?

Клуб ЛП

Каждый член «Клуба ЛП» принадлежит либо к числу правдолюбцев, имеющих похвальное обыкновение правдиво отвечать на любой заданный им вопрос, или лжецов по призванию, безудержно лгущих, о чём бы их ни спрашивали. Когда я впервые посетил этот клуб, его члены (среди которых не было ни одной женщины) сидели за круглым столом и завтракали. Поскольку отличить по внешнему виду правдолюбца от лжеца решительно невозможно, я спросил у каждого члена клуба по очереди, к какой из двух категорий он принадлежит. Собранные мной сведения оказались не особенно обнадёживающими: каждый член клуба стремился уверить меня в том, что он правдолюбец! Я решил предпринять ещё одну попытку и на этот раз спросить у каждого члена клуба, кто сидит за столом рядом с ним: лжец или правдолюбец. К моему удивлению, все члены клуба в один голос заявили, что сосед слева — лжец.

Вернувшись домой и разбирая заметки, сделанные за завтраком в клубе, я обнаружил, что забыл записать, сколько человек сидело за столом. Позвонив президенту клуба, я узнал, что членами клуба состоят 37 человек. Положив телефонную трубку, я понял, что полагаться на эту цифру было бы крайне опрометчиво, поскольку мне неизвестно, кто избран президентом клуба — лжец или правдолюбец. Поразмыслив, я решил позвонить секретарю клуба, сидевшему за завтраком рядом с президентом.

— Как ни прискорбно, — сообщил мне секретарь, — но должен сказать вам, что наш президент — безудержный лжец. В действительности за столом сидело 40 человек.

Кому мне было верить — президенту или секретарю? И вдруг я понял, что установить истину совсем просто.

Как на основе всех полученных сведений определить число людей, сидевших за столом?

25 шахматных коней

На каждой клетке шахматной доски размером 5 × 5 стоит конь. Можно ли одновременно делать ход всеми 25 конями так, чтобы после хода все 25 клеток мини-доски снова оказались занятыми? Каждый конь ходит, как обычно: на два поля в одном направлении, после чего поворачивается на 90° и «приземляется» на соседнем поле.

Нора Лил Арон

У студентки одного колледжа несколько необычное палиндромное (то есть читающееся одинаково справа налево и слева направо) имя Нора Лил Арон. Как-то раз её приятель, студент-старшекурсник математического факультета, изнывая от скуки на лекции, решил от нечего делать заняться составлением числовой криптограммы и записал имя девушки в виде «примера на умножение»:

Можно ли, подставив вместо каждой буквы одну из 10 цифр, превратить эту запись в арифметический пример — умножение двух чисел? Предполагается, что ни одно из четырёхзначных чисел не начинается с нуля.

Пять чисел

Набор чисел 1, 3, 8 и 120 обладает замечательным свойством: произведение любых двух из них на единицу меньше точного квадрата. Найдите пятое число, которое можно присоединить к этому набору, не нарушая его свойства.

Назойливый поклонник

Одна молодая особа решила покупаться и позагорать на Круглом озере — искусственном водоёме, названном так за идеально круглую форму. Чтобы избавиться от назойливого поклонника, девушка села в лодку и уплыла к центру озера, где на якоре стоял плот. Незадачливый Ромео решил дожидаться на берегу. «Рано или поздно ей всё равно придётся вернуться на берег, — рассуждал он, — а поскольку я бегаю вчетверо быстрее, чем она гребёт, мне удастся встретить её в тот самый момент, когда лодка причалит к берегу».

Попав в затруднительное положение, девушка задумалась над тем, как ей быть. Она знала, что на суше сумеет легко убежать от своего преследователя, а потому необходимо было разработать такую стратегию, которая позволила бы причалить к берегу в точке, до которой не успеет добежать поклонник. После непродолжительных размышлений девушке пришла в голову удачная идея.

Какой стратегии придерживалась девушка? (Предполагается, что в любой момент девушка располагает самыми точными сведениями относительно координат той точки озера, в которой она находится.)

Два арбуза

На рынке продаются два арбуза разных размеров. Один на четверть шире другого, а стоит в полтора раза дороже. Какой из них выгоднее купить?

Носки и перчатки

В одном ящике лежат 10 пар коричневых и 10 пар чёрных носков, в другом — 10 пар коричневых и 10 пар чёрных перчаток. По сколько носков и перчаток достаточно извлечь из каждого ящика, чтобы из них можно было выбрать одну пару носков и одну пару перчаток? Выбранные пары носков и перчаток не обязательно должны быть одинакового цвета.

За пять рублей — сто

Один эстрадный счетчик на своих сеансах делал публике следующее заманчивое предложение:

— Объявляю при свидетелях, что плачу 100 рублей каждому, кто даст мне 5 рублей двадцатью монетами — по 50, 20 и 5 коп. Сто рублей за пять! Кто желает?

Воцарялось молчание.

Публика погружалась в размышление. Карандаши бегали по листкам записных книжек, — но ответного предложения не поступало.

— Публика, я вижу, находит 5 рублей слишком высокой платой за 100 рублей. Извольте, я готов скинуть два рубля и назначаю пониженную цену: 3 рубля двадцатью монетами названного достоинства. Плачу 100 рублей за 3 рубля! Желающие, составляйте очередь!

Но очередь не выстраивалась. Публика явно медлила воспользоваться редким случаем.

— Неужели и 3 рубля дорого? Хорошо, понижаю сумму ещё на рубль; уплатите указанными двадцатью монетами всего только 2 рубля, и я немедленно вручу предъявителю сто рублей.

Так как никто не выражал готовности совершить обмен, счетчик продолжал:

— Может быть, у вас нет при себе мелких денег? Не стесняйтесь этим, я поверю в долг. Дайте мне только на бумажке реестрик, сколько монет каждого достоинства вы обязуетесь доставить!

В чём состоит секрет столь заманчивого предложения? Почему счетчик нисколько не рисковал собственными деньгами?

Пол-яблока

Некто забрёл в сад, в котором имелось три калитки, и решил пройти через них, не пропустив ни одной. Набрав некоторое количество яблок, он отдал половину всех яблок и ещё пол-яблока человеку, стоявшему у первой калитки (у каждой калитки стоит человек), половину того, что осталось, и ещё пол-яблока — человеку, стоявшему у второй калитки, и половину всех оставшихся яблок и ещё пол-яблока — человеку, стоявшему у третьей калитки, и при этом не разрезал ни одного яблока.

Каково наименьшее число яблок, удовлетворяющее условиям этой задачи?

Ахиллес и черепаха

Многим известна знаменитая апория (парадокс) Зенона Элейского: «Ахиллес быстроногий не может догнать черепаху».

Предположим, что Ахиллес бежит вдесятеро быстрее, чем ползёт черепаха, и в начале состязания черепаха имеет 100 м форы. К тому времени когда Ахиллес пробежит 100 м, черепаха успеет проползти 10 м. Когда же Ахиллес пробежит и эти 10 м, черепаха уползёт вперёд на 1м, и так далее. Таким образом, черепаха всегда будет впереди Ахиллеса и он её никогда не догонит.

Не вдаваясь в вопрос о том, где в этом рассуждении логическая ошибка, определите, какое расстояние успеет пробежать Ахиллес прежде, чем он всё-таки догонит черепаху.

Кучка фальшивых монет

Имеется 10 кучек монет, в каждой кучке по 10 монет. Одна из кучек целиком состоит из фальшивых монет, но какая именно — неизвестно. Известен лишь вес настоящей монеты, и, кроме того, установлено, что каждая фальшивая монета на один грамм тяжелее, чем нужно. Монеты можно взвешивать на весах, показывающих точный вес. Какое минимальное число взвешиваний необходимо произвести, чтобы отыскать кучку, целиком состоящую из фальшивых монет? Ответьте на тот же вопрос для случая, когда кучек не 10, а 11.

Распиливание куба

Один плотник решил распилить кубик размером 3 × 3 × 3 см на 27 кубиков с ребром в 1 см. Это делается очень просто: надо распилить куб по шести плоскостям, не разнимая его при этом на куски:

Можно ли уменьшить число распилов, если после каждого из них складывать отпиленные части по-новому?

Эту задачу придумал Ф. Хоуторн.

В Бронкс или Бруклин?

Один молодой человек живёт в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая — в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же он едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам бóльшую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходятся на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

Перепутанные таблички

Имеются три коробки, в каждой из которых лежит по два шара. В одной лежат два чёрных шара, во второй — два белых и в третьей — один чёрный шар и один белый. На коробках в соответствии с их содержимым были надписи ЧЧ, ЧБ и ББ, но кто-то их перепутал, и теперь на каждой коробке стоит надпись, не соответствующая содержимому. Чтобы узнать, какие шары лежат в каждой из трёх коробок, разрешается вынимать по одному шару из коробки и, не заглядывая внутрь, возвращать его обратно. Какое минимальное число шаров нужно вынуть, чтобы с уверенностью определить содержимое всех коробок?

Страницы

Подписаться на RSS - Лёгкие задачи