Средние задачи

*

Степень натурального числа

При каких значениях n выражение 2n + 1 является нетривиальной степенью натурального числа?

40 пассажиров

В автобусе без кондуктора едут 40 пассажиров, имеющих при себе только монеты достоинством в 10, 15 и 20 копеек. Всего при у пассажиров 49 монет. Докажите, что пассажиры не смогут уплатить требуемое количество денег в кассу и правильно рассчитаться между собой (стоимость автобусного билета составляет 5 копеек).

Покрытие круга

Докажите, что семью кругами радиуса 1 можно покрыть полностью круг радиуса 2, но нельзя покрыть круг большего радиуса.

Многочлен с целыми коэффициентами

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + ... + an — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на pm при любом целом m.

Три ненулевых целых числа

Даны три ненулевых целых числа K, M и N, причём K и M взаимно просты. Докажите, что найдётся такое целое x, что Mx + N делится на K.

Точки на плоскости

На плоскости дано 2n точек. Докажите, что их можно попарно соединить так, чтобы отрезки не пересекались.

Сумма квадратов

Найти n + 1 последовательных чисел, сумма квадратов которых равна сумме квадратов следующих n чисел.

9 десятью цифрами

При помощи десяти различных цифр можно составить шесть таких дробей, что каждая из них будет равна 9.

Три дроби таковы:

9 = 97 524 / 10 836 = 95 823 / 10 647 = 57 429 / 06 381

Найдите остальные три.

Все за одну

Если одна цифра 2, употреблённая не более 5 раз, или одна цифра 4, употреблённая не более четырёх раз, в состоянии заменить собой любую из цифр от 1 до 9, то и вся эта дружная семья цифр не останется в долгу.

Участвуя всей семьёй сразу (но без нуля), они могут заменить собой любую цифру своего же семейства.

Вот так, например, они заменяют 2 и 4:

2 = 13 458 / 6729

4 = 15 768 / 3942

Каждая из этих неправильных дробей содержит все цифры от 1 до 9, причём каждую только по одному разу.

Составляя аналогичные дроби из тех же цифр и употребляя каждую цифру только по одному разу, вы можете образовать числа 3, 5, 6, 7, 8 и 9, то есть все остальные однозначные числа, кроме 1.

Для изображения 1 посредством девяти цифр надо придумать особый способ.

Одна за всех

Обобщим предыдущую задачу.

Изобразить целое число при помощи ровно четырёх любых одинаковых цифр, соединяя их математическими знаками. Это значит: изобразить число четырьмя цифрами так, чтобы при замене этих цифр четвёркой любых других одинаковых цифр (кроме нуля) получилось то же число. Например:

3 = (n + n + n) : n

При этом разрешается употреблять знаки сложения, вычитания, умножения и деления, скобки. Если этих знаков окажется недостаточно, то ещё

  1. знак квадратного радикала: √ ;
  2. знак факториала: ! (этот знак ставится справа от числа и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно; например 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120)
  3. точку перед числом (на уровне строки), например .4 (так иногда обозначают десятичную дробь: .4 = 0,4);
  4. точку перед числом и над числом, например .4̇ (так иногда обозначают периодическую дробь: .4̇ = 0,(4) = 4/9)

Известны решения этой задачи для любых целых чисел от 1 до 21, кроме 14.

Пятью двойками

Запишите каждое из чисел от 1 до 26 с помощью только пяти двоек, пользуясь для этого четырьмя арифметическими действиями, возведением в квадрат и скобками.

Примечание: Изобразить число 27 пятью двойками при таких условиях не получится.

Две дроби из 10 цифр

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составить две равные дроби, сумма которых равна 1. Употребить необходимо все цифры и притом каждую из них только по одному разу. (Возможно несколько решений.)

20 двенадцатью цифрами

Написать число 20, употребляя только цифры 1, 3, 5 и 7, причём каждую из них ровно по 3 раза.

Восстановление записи

В памятной книжке найдена запись:

    За продажу ... кусков сукна по 49 руб. 36 коп. каждый кусок получено ...7 руб. 28 коп.

Эта запись оказалась залитой в некоторых местах чернилами так, что нельзя разобрать ни числа проданных кусков, ни первых трёх цифр полученной суммы. Спрашивается, можно ли по сохранившимся данным узнать число проданных кусков и всю вырученную сумму?

Смекалка кузнеца Хечо

Назад тому лет 300 жил в Грузии князь злой и надменный. Была у князя дочь-невеста, Дариджан по имени. Обещал князь свою Дариджан в жёны богатому соседу, а она полюбила простого парня, кузнеца Хечо. Попытались было Дариджан и Хечо убежать в горы от неволи, но поймали их слуги князевы.

Рассвирепел князь и решил назавтра казнить обоих, на ночь же приказал их запереть в высокую, мрачную, заброшенную, недостроенную башню, а вместе с ними ещё и служанку Дариджан, девочку-подростка, которая помогала им бежать.

Не растерялся в башне Хечо, осмотрелся, поднялся по ступенькам в верхнюю часть башни, в окно выглянул — прыгать невозможно, разобьёшься. Тут заметил Хечо около окна забытую строителями верёвку, перекинутую через заржавленный блок, укреплённый повыше окна. К концам верёвки были привязаны пустые корзины, к каждому концу — по корзине. Хечо вспомнил, что при помощи этих корзин каменщики поднимали вверх кирпич, а вниз спускали щебень, причём, если вес груза в одной корзине превышал вес груза в другой примерно на 5 — 6 кг, то корзина довольно плавно опускалась на землю; другая корзина в это время поднималась к окну.

Хечо на глаз определил, что Дариджан весит около 50 кг, служанка не более чем 40 кг. Свой вес Хечо знал — около 90 кг. Кроме того он нашёл в башне цепь весом в 30 кг. Так как в каждой корзине могли поместиться человек и цепь или даже 2 человека, то им всем троим удалось спуститься на землю, причём спускались они так, что ни разу вес опускающейся корзины с человеком не превышал веса поднимающейся корзины более чем на 10 кг.

Как они выбрались из башни?

Четыре треугольника из спичек

Из шести спичек составить четыре равных равносторонних треугольника.

Четыре действия арифметики

Перед вами 7 строк последовательно расположенных цифр:

    1 2 3 = 1
    1 2 3 4 = 1
    1 2 3 4 5 = 1
    1 2 3 4 5 6 = 1
    1 2 3 4 5 6 7 = 1
    1 2 3 4 5 6 7 8 = 1
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1

Не меняя порядка расположения цифр, поставьте между ними знаки арифметических действий и скобки с таким расчётом, чтобы в результате этих действий в каждом ряду получилось бы по 1. При необходимости две рядом стоящие цифры можно считать двузначным числом.

Средний сын рыжий

Два математика, не достигшие пенсионного возраста, после долгого перерыва встретились на одном из конгрессов. Приведём фрагмент их диалога:

— Ну, а дети у тебя есть?

— Конечно! У меня три сына.

— А сколько им лет?

— Ну, если перемножить, то будет как раз мой возраст. Надеюсь, ты ещё не забыл, сколько мне лет?

— (После короткого размышления). Не понимаю.

— Если сложить их возраст, то получится как раз сегодняшнее число.

— (Вновь после размышления). Всё равно не понимаю.

— Ну, хорошо, скажу ещё, что средний сын у меня рыжий.

— Теперь понял.

А вы можете определить, сколько лет каждому из сыновей?

Путешествие по пустыне

Передвигаясь по пустыне, путешественник за один день может преодолеть 20 км, при этом он может нести с собой запас продуктов и воды на 6 дней и имеет право на маршруте делать склады. На краю пустыни расположена база, на которой имеется 30-дневный запас продуктов и куда после окончания путешествия необходимо вернуться. Сможет ли путешественник углубиться в пустыню на расстояние более 135 км?

Может ли при тех же условиях путешественник пересечь пустыню шириной 210 км, если возвращение на базу необязательно?

Пять булыжников

Есть 5 различных по тяжести булыжников. За семь взвешиваний на весах без гирь расположите их по возрастанию массы.

Какой язык?

Часть американских полицейских инструкций написана на языке, который не знают и не понимают американские полицейские. Зачем это сделано?

Доска с костяшками домино

Квадратная доска 6×6 заполнена костяшками домино 1×2. Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.

Два десятизначных числа

Найдите пару десятизначных чисел, каждое из которых является описанием другого, то есть первая цифра одного числа равна числу нулей в другом числе, вторые цифры взаимно информируют о числе единиц, и так далее.

Проверка на радиоактивность

Известно, что среди 18 шаров два радиоактивных. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. Как за 8 таких проверок наверняка найти оба радиоактивных шара?

От 1 до 16

За какое наименьшее число вопросов можно угадать задуманное число между 1 и 16, если один раз отвечающий имеет право соврать? (Вопросы должны предполагать лишь ответы «да или «нет».)

Странный калькулятор

Предположим, что имеется калькулятор, который может из данного целого числа a получить либо число 2a+1, либо число (a–1)/3, если a–1 делится на 3. Постарайтесь с помощью таких операций из 1 получить 8, а также 32. Желательно при этом, чтобы число шагов было как можно меньше.

Куры и петухи

Хозяйка купила на рынке курицу. Эта курица снесла два яйца, после чего попала на обеденный стол. Из каждого яйца, как известно, может вылупиться либо курица, либо петух. Каждый петух попадал на стол, а каждая курица съедалась после того, как успевала снести два яйца. Через некоторое время этот процесс оборвался, поскольку появились одни лишь петухи. Выяснилось, что петухов всего было съедено 17 штук. Сколько было съедено кур?

Рыцари круглого стола

Восемь рыцарей каждый год в установленное время собирались за круглым столом и устраивали общий пир. При этом они свято выполняли одно условие: всякий раз у каждого рыцаря была новая пара соседей. Какое наибольшее число лет могли продолжаться подобные встречи?

Смерть линкора

Какое наименьшее число «выстрелов» надо сделать, чтобы в игре в «морской бой» наверняка хотя бы один раз попасть в линкор, одиноко плавающий по морю? Напомним, что в «морской бой» играют на квадрате 10×10, а «линкором» в этой игре называется «корабль» 1×4.

Из двух квадратов — один

Имеются два квадрата — 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты на части, из которых можно было бы сложить один квадрат.

Если вы справились с этой задачей, то попробуйте решить её в общем виде: перекроить два произвольных квадрата в один.

Страницы

Подписаться на RSS - Средние задачи