Средние задачи

*

Выкуп

У богатого человека похитили сына. Похититель потребовал, чтобы он принёс принадлежащий ему дорогой бриллиант в телефонную будку, стоящую в середине городского парка. Полицейские в штатском окружили парк, намереваясь схватить преступника или его посредника. Отец похищенного ребёнка пришёл к телефонной будке и выполнил все указания похитителя, но полиция не смогла ни помешать хитрому преступнику вынести алмаз из парка, ни схватить негодяя. Что он сделал?

40 прохожих

Опрашивают 40 наугад выбранных прохожих. Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое, празднующие свой день рождения в один и тот же день года, вы проигрываете. Если все дни рождения различны — выигрыш ваш.

Приняли бы вы участие в подобном пари, особенно, если ставка достаточно высока?

У входа в пещеру Али-Бабы

У входа в пещеру, где хранятся сокровища Али-Бабы, стоит устройство, не позволяющее проникнуть в пещеру непосвящённому. Снаружи это устройство похоже на диск, в котором проделаны в виде квадрата четыре отверстия. Внутри каждого отверстия есть невидимый снаружи выключатель. Каждый выключатель имеет два положения: «вверх» и «вниз», причём легко определить на ощупь, в каком положении находится выключатель. Человек имеет право опустить руки в любые два отверстия и придать выключателям желаемое положение. После этого диск начинает быстро вращаться и останавливается в некотором положении. (При этом нельзя установить, как новое положение диска связано с предыдущим.) После этого вновь можно манипулировать любыми двумя выключателями. Дверь в пещеру откроется лишь в том случае, если все четыре выключателя окажутся в одном положении. Указанные манипуляции можно проделать не более шести раз. В противном случае на неудачника обрушится тяжёлая плита.

Смогли бы вы попасть в пещеру Али-Бабы?

Загадочное деление: семь семёрок

В следующем примере деления все цифры заменены звёздочками, кроме семи семёрок. Поставьте вместо звёздочек те цифры, которые были заменены:

Задача имеет единственное решение.

Здоровая рука

Почему совершенно здоровая молодая девушка надела гипс себе на руку, которая не была повреждена?

Загадочное деление: четыре четвёрки

В следующем примере деления все цифры заменены звёздочками, кроме четырёх четвёрок. Поставьте вместо звёздочек те цифры, которые были заменены:

Задача имеет несколько различных решений.

Игра со спичками посложнее

Немного усложним условия игры из предыдущей задачи.

Итак, на столе лежат 37 спичек. Разрешается по очереди брать не более 5 спичек, при этом запрещается повторять ход соперника. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку либо поставит соперника в положение, при котором у него нет разрешённого хода. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или второй игрок? Как ему следует играть?

Самопересекающаяся ломаная

Изобразите шестизвенную замкнутую ломаную, каждое звено которой ровно один раз пересекается с каким-то другим звеном этой ломаной.

Прогрессия–729

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Разноцветный шестиугольник

Центры O1, O2 и O3 трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1, O2, O3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке:

Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Сложная последовательность

Продолжите последовательность:

3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, ...

2011 составных чисел

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, ..., n + 2011 — составные.

(Напомним, что натуральное число, большее единицы, называется составным, если его можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел. В противном случае число называется простым.)

Победит сильнейший, или необычная дуэль

Три гусара во время одной вечеринки смертельно поссорились и вызвали друг друга на дуэль. Условия дуэли следующие: все трое располагаются на равных расстояниях друг от друга и по очереди в определённом порядке в соответствии с заранее брошенным жребием делают по одному выстрелу. (При этом мишень каждый выбирает по своему усмотрению.)

Дуэль продолжается до тех пор, пока в живых не останется лишь один из трёх. Каждый из них хорошо знает стрелковые возможности соперников, при этом гусары А и Б попадают в среднем не менее 9 раз из 10, а гусар В — примерно 6 раз из 10. Кто из них имеет больше всего шансов остаться в живых в результате этой дуэли, если предположить, что каждый собирается максимально использовать свои возможности?

Несчастливая койка

За определённой койкой в одном госпитале закрепилась дурная слава. Когда пациента кладут на эту койку, то он всегда умирает в пятницу вечером. Рядом с койкой установили камеру, и причину удалось обнаружить. В чём она заключалась?

Лесная дача

На рисунке изображена лесная дача, разделённая просеками на квадратные кварталы:

Пунктирной линией обозначен один из путей по просекам от точки A до точки B. Сколько всего существует различных путей такой же длины по просекам от точки A до точки B ?

25 мальчиков и 25 девочек

25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то оба соседа — девочки.

Семь колокольчиков

Маленький магазинчик в Нью-Йорке называется «Семь колокольчиков», однако снаружи висит 8 колокольчиков. Почему?

6 карандашей

Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался любого другого?

Секретное сообщение

Разведка звёздной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть, или один из них надо сдать в переплавку?

Много булок

В примере на сложение цифры заменили буквами (причём одинаковые цифры — одинаковыми буквами, а разные цифры — разными буквами) и получили: БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное возможное значение числа МНОГО.

Магическое десятизначное число

Найдите такое десятизначное число, чтобы его первая (слева) цифра указывала количество нулей в его записи, вторая цифра — число единиц и т. д. вплоть до десятой цифры, которая должна указывать число девяток в десятичной записи числа.

Шесть одинаковых гирь

Имеется шесть гирь, выглядящих внешне совершенно одинаково и даже выкрашенных в один и тот же цвет: три гири одного и три гири другого (чуть большего) веса. Определите с помощью трёх взвешиваний на равноплечих весах, к какой из двух категорий относится каждая из 6 гирь — к тяжёлым или к лёгким.

Шесть разноцветных гирь

Имеется 6 гирь: 2 красные, 2 белые и 2 синие. Внешне любая пара выглядит совершенно одинаково, но одна из гирь в каждой паре весит чуть больше другой. Все три более тяжёлые гири (красная, белая и синяя) имеют одинаковый вес. Все три более лёгкие гири также равны по весу.

Можно ли с помощью всего лишь двух взвешиваний на равноплечих весах определить, какая из гирь в каждой паре тяжелее?

Ева болтала, болтала, болтала...

Требуется восстановить левую и правую части зашифрованного равенства:

Каждая буква означает одну и только одну цифру (в том числе и ноль), и каждой цифре соответствует одна и только одна буква. Числитель и знаменатель дроби EVE/DID не имеют общих множителей. В правой части равенства стоит периодическая дробь с четырёхзначным периодом. Криптарифм имеет единственное решение.

Три угла

Не прибегая к тригонометрии, докажите с помощью одной лишь элементарной геометрии, что угол C на рисунке равен сумме углов A и B:

Календарь из кубиков

В окне одного магазина я увидел оригинальный настольный календарь:

Дату указывали цифры на передних гранях двух кубиков. На каждой грани кубика стоит по одной цифре от 0 до 9. Переставляя кубики, можно изобразить на календаре любую дату от 01, 02, 03, ... до 31.

Какие цифры скрыты на невидимых гранях кубиков?

За круглым столом. Продолжение

Если в предыдущей задаче один из участников переговоров сразу оказывается на своём месте, то можно ли в этом случае повернуть стол так, чтобы по крайней мере двое из участников переговоров оказались против карточек с их именами?

Напомним, что в предыдущей задаче 24 участника важных переговоров проводят заседания за круглым столом, сидя на одинаковом расстоянии друг от друга, причём место каждого участника за столом указано карточкой с его именем, и как-то раз после бурного обсуждения в кулуарах участники переговоров, сев за стол, обнаружили, что по ошибке каждый из них занял не своё место.

16 чисел

Восстановите недостающее число (оно указано многоточием) в последовательности: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 31, 100, ..., 10 000, 1 111 111 111 111 111.

На распутье

Некий путешественник однажды оказался на острове, который населяли племя лжецов и племя правдивых туземцев. Члены первого племени всегда лгали, члены второго — всегда говорили только правду. Путешественник дошёл до места, где дорога раздваивалась, и вынужден был спросить у оказавшегося поблизости туземца, какая из двух дорог ведёт в деревню. Узнать, кем был встреченный туземец — лжецом или правдивым человеком, — путешественник не мог. Всё же, поразмыслив, он задал туземцу один-единственный вопрос и, получив ответ, узнал, по какой дороге следует идти. Какой вопрос задал путешественник?

Из 12 спичек

Из 12 спичек можно составить фигуру креста, площадь которого равна 5 «спичечным» квадратам:

Сложите из тех же 12 спичек одну связную фигуру так, чтобы её площадь равнялась 4 «спичечным» квадратам.

Страницы

Подписаться на RSS - Средние задачи