Вероятностные задачи

Опрашивают 40 наугад выбранных прохожих. Если среди опрошенных найдутся хотя бы двое, празднующие свой день рождения в один и тот же день года, вы проигрываете. Если все дни рождения различны — выигрыш ваш.

Приняли бы вы участие в подобном пари, особенно, если ставка достаточно высока?

Монета является общепризнанным инструментом, с помощью которого можно бросать жребий, делать выбор между двумя равноправными возможностями. Предположим, что монета несимметрична, и имеются веские основания считать, что выпадение «орла» и «решки» имеет различные вероятности. Как с помощью такой неправильной монеты всё же бросить жребий, так чтобы ни одна из сторон не могла считать себя обиженной?

Три гусара во время одной вечеринки смертельно поссорились и вызвали друг друга на дуэль. Условия дуэли следующие: все трое располагаются на равных расстояниях друг от друга и по очереди в определённом порядке в соответствии с заранее брошенным жребием делают по одному выстрелу. (При этом мишень каждый выбирает по своему усмотрению.)

Дуэль продолжается до тех пор, пока в живых не останется лишь один из трёх. Каждый из них хорошо знает стрелковые возможности соперников, при этом гусары А и Б попадают в среднем не менее 9 раз из 10, а гусар В — примерно 6 раз из 10. Кто из них имеет больше всего шансов остаться в живых в результате этой дуэли, если предположить, что каждый собирается максимально использовать свои возможности?

В чёрном ящике лежит шар, который с равной вероятностью может быть либо чёрным, либо белым. В ящик добавляется белый шар, затем наугад извлекается шар, оказавшийся белым. Какова вероятность, что и оставшийся шар является белым?

Продолжение предыдущей задачи.

Предположим, что в Фертилии неукоснительно соблюдается воля султана, все родители обладают завидным долголетием, в достаточной мере сохраняют способность к деторождению и заботятся о прибавлении семейства вплоть до появления первого сына (после чего мать семейства утрачивает право на рождение детей). При рождении очередного ребёнка он с вероятностью ½ может быть девочкой и с той же вероятностью мальчиком. Спрашивается, сколько детей в среднем будет у каждой фертилийской матери по истечении достаточно большого промежутка времени?

Султан Фертилии, желая увеличить численность женского населения страны, дабы его подданным было легче пополнять свои гаремы, издал указ, по которому женщинам разрешалось иметь детей лишь до рождения первого сына.

— Повинуясь моему указу, — пояснил свой замысел владыка Фертилии, — женщины не смогут иметь по несколько сыновей. У них может быть четверо дочерей и один сын, десять дочерей и один сын, на худой конец, даже просто единственный сын, но никогда два, а тем более три сына!

Ясно, что соотношение между численностью женского и мужского населения Фертилии на благо мужчин должно изменится в пользу женщин.

Прав ли султан Фертилии?

Один молодой человек живёт в Манхэттене возле станции метро. У него есть две знакомые девушки. Одна из них живёт в Бруклине, вторая — в Бронксе. Когда он едет к девушке из Бруклина, то садится в поезд, подходящий к платформе со стороны центра города. Когда же он едет к девушке из Бронкса, то садится в поезд, идущий в центр. Поскольку обе девушки нравятся ему одинаково, он просто садится в тот поезд, который приходит первым. Таким образом, в выборе, куда ехать, он полагается на случай. Молодой человек приходит на станцию каждую субботу в разное время. И в Бруклин и в Бронкс поезда ходят с одинаковым интервалом в 10 минут. Тем не менее по каким-то непонятным причинам бóльшую часть времени он проводит с девушкой из Бруклина; в среднем из каждых десяти поездок девять приходятся на Бруклин. Попробуйте догадаться, почему у Бруклина такой огромный перевес.

Одна секретарша напечатала пять различных писем и надписала пять конвертов с адресами. Предположим, что она вкладывает письма в конверты случайным образом. Какова вероятность, что ровно четыре письма будут вложены в конверты с адресами тех лиц, кому они предназначены?

Между тремя победителями телевизионной лотереи разыгрывается главный приз. Допустим, что это происходит в субботу, а объявление о результате будет сделано лишь в понедельник. Джентльмен А очень хотел бы узнать результат жеребьёвки пораньше. Он знаком с арбитром, производившим жеребьёвку, звонит последнему и просит, если и не сообщить, кто выиграл главный приз, то хотя бы сказать, кто из двух оставшихся его не выиграл. После некоторого размышления арбитр сообщает, что В не выиграл приз. Какова теперь вероятность того, что этот приз выиграл А?