Умеете ли вы считать?

*

На лысой резине

Передние покрышки автомобиля стираются через 25 000 км пути, а задние через 15 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно?

В переплётной мастерской

В переплётной мастерской было 92 листа белой бумаги и 135 листов цветной бумаги. На переплёт каждой книги уходило по листу белой и по листу цветной бумаги. После переплёта нескольких книг белой бумаги оказалось вдвое меньше, чем цветной. Сколько книг было переплетено?

Охотники

Три охотника несколько дней подряд провели в тайге на охоте.

В последний день охоты утром случилась неприятность: переходя вброд небольшую речушку два охотника подмочили свои патронташи. Часть их патронов оказалась негодной к употреблению. Три друга поровну поделили между собой сохранившиеся патроны.

После того как каждый охотник сделал четыре выстрела, у всех охотников вместе осталось столько патронов, сколько было после дележа у каждого.

Сколько всего пригодных патронов было в момент дележа?

От 1 до 1 000 000 000

Рассказывают, что когда 9-летнему Гауссу учитель предложил найти сумму всех целых чисел от 1 до 100, 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100, то маленький Гаусс сам сообразил, каким способом можно очень быстро выполнить это сложение.

Надо складывать первое число с последним, второе с предпоследним и так далее. Сумма каждой такой пары чисел равна 101 и повторяется она 50 раз.

Следовательно, сумма всех целых чисел от 1 до 100 будет равна 101 × 50 = 5050.

Этот же приём можно использовать для решения более трудной задачи:

    найти сумму всех цифр у всех целых чисел от 1 до 1 000 000 000.

Обратите внимание: здесь речь идёт не о сумме чисел, а о сумме цифр всех чисел!

Недоумение крестьянок

Две крестьянки продавали на базаре яблоки. Одна продавала за 1 копейку 2 яблока, а другая за 2 копейки 3 яблока.

У каждой в корзине было по 30 яблок, так что первая рассчитывала выручить за свои яблоки 15 копеек, а вторая 20 копеек. Обе вместе они должны были выручить 35 копеек. Сообразив это, крестьянки, чтобы не ссориться и не перебивать друг у друга покупателей, решили сложить свои яблоки вместе и продавать их сообща, причём они рассуждали так: «Если я продаю пару яблок за копейку, а ты — три яблока за 2 копейки, то, чтобы выручить свои деньги, надо нам, значит, продавать пять яблок за 3 копейки!»

Сказано — сделано. Сложили торговки свои яблоки вместе (получилось всего 60 яблок) и начали продавать по 3 копейки за 5 яблок.

Распродали и удивились: оказалось, что за свои яблоки они выручили 36 копеек, то есть на копейку больше, чему думали выручить! Крестьянки задумались: откуда взялась «лишняя» копейка и кому из них следует её получить? И как, вообще, им поделить теперь все вырученные деньги?

И в самом деле, как это вышло?

Пока эти две крестьянки разбирались в своей неожиданной прибыли, две другие, прослышав об этом, тоже решили заработать лишнюю копейку.

У каждой из них было тоже по 30 яблок, но продавали они так: первая давала за одну копейку пару яблок, а вторая за копейку давала 3 яблока. Первая после продажи должна была, значит, выручить 15 копеек, а вторая — 10 копеек; обе вместе выручили бы, следовательно, 25 копеек. Они и решили продавать свои яблоки сообща, рассуждая совсем так, как и те две первые торговки: если я продаю за одну копейку пару яблок, а ты за копейку продаёшь 3 яблока, то, значит, чтобы выручить свои деньги, нам нужно каждые 5 яблок продавать за 2 копейки.

Сложили они яблоки вместе, распродали их по 2 копейки за каждые 5 штук, и вдруг... оказалось, что они выручили всего 24 копейки, значит, недовыручили целую копейку.

Задумались и эти крестьянки: как же это могло случиться и кому из них придётся этой копейкой поплатиться?

Бой часов

Сколько ударов в сутки делают часы с боем?

Лестница

В доме 6 этажей. Во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на третий этаж, если пролёты между этажами имеют по одинаковому числу ступенек?

Удивительные часы (китайская головоломка)

Как-то в один дом срочно попросили зайти часовщика.

— Я болен, — ответил часовщик, — и не смогу пойти. Но если починка несложная, я пришлю вам своего ученика.

Оказалось, что нужно было поломанные стрелки заменить другими.

— С этим мой ученик справится, — сказал мастер. — Он проверит механизм ваших часов и подберёт к ним новые стрелки.

Ученик отнёсся к работе очень старательно, и когда он закончил осмотр часов, уже стемнело. Считая работу завершённой, он торопливо надел подобранные стрелки и поставил их по своим часам: большую стрелку на цифру 12, а маленькую — на цифру 6 (было ровно 6 часов вечера).

Но вскоре после того, как ученик вернулся в мастерскую, чтобы сообщить мастеру, что работа выполнена, зазвонил телефон. Мальчик взял трубку и услышал сердитый голос заказчика:

— Вы плохо исправили часы, они неправильно показывают время.

Ученик мастера, удивлённый этим сообщением, поспешил к заказчику. Когда он пришёл, отремонтированные им часы показывали начало девятого. Ученик вынул свои карманные часы и протянул их разгневанному хозяину дома:

— Сверьте, пожалуйста. Ваши часы ни на секунду не отстают.

Ошеломлённый заказчик вынужден был согласиться, что его часы в данный момент действительно показывают правильное время.

Но на другой день утром заказчик опять позвонил и сказал, что стрелки часов, очевидно, сошли с ума и разгуливают по циферблату, как им вздумается. Ученик мастера побежал к заказчику. Часы показывали начало восьмого. Сверив время по своим часам, он не на шутку рассердился:

— Вы смеётесь надо мной! Ваши часы показывают точное время!

Часы действительно показывали точное время. Возмущённый ученик мастера хотел тут же уйти, но хозяин удержал его. А через несколько минут они нашли причину столь невероятных происшествий.

Не догадаетесь ли и вы, в чём тут дело?

Часы остановились

У одного человека не было карманных часов, а были только стенные, которые однажды остановились. Он отправился к своему знакомому, часы которого шли безукоризненно, узнал время и, не задерживаясь долго, вернулся домой. Дома он быстро произвёл несложные вычисления и поставил стрелки стенных часов в положение, соответствующее точному времени.

Как он действовал и рассуждал, если предварительно ему не было известно, сколько времени занимает дорога?

Клан Сопрано

У мальчика столько же сестёр, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестёр, чем братьев.

Сколько в этой семье братьев и сколько сестёр?

Оцените «на взгляд»

Перед вами два столбца чисел:

	123456789	000000001
	123456780	000000021
	123456700	000000321
	123456000	000004321
	123450000	000054321
	123400000	000654321
	123000000	007654321
	120000000	087654321
	100000000	987654321

Числа второго столбца образованы из тех же цифр, что и числа первого столбца, но с противоположным порядком их расположения.

Оцените «на взгляд», какой столбец при сложении даст больший результат?

Сколько мне лет?

Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько лет мне теперь?

Бой часов

В 6 часов стенные часы пробили 6 ударов. Время, прошедшее от первого удара до шестого, равнялось 30 секундам. Если для того, чтобы пробить 6 раз, часам понадобилось 30 секунд, то сколько времени будет продолжаться бой часов в полдень или полночь, когда часы бьют 12 раз?

Собаки и крысы

Если 5 собак убивают 5 крыс за 5 минут, сколько времени потребуется, чтобы 15 собак убили 15 крыс?

Супружеские пары

Василию, Петру, Семёну и их жёнам Наталье, Ирине и Анне вместе 151 год. Каждый муж старше своей жены на 5 лет. Василий на год старше Ирины. Наталье и Василию вместе 48 лет, а Семёну и Наталье вместе 52 года. Кто на ком женат, кому сколько лет?

Кто на ком женат?

Трое крестьян, Иван, Пётр и Алексей, пришли на рынок с жёнами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих шести человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Пётр — на 7 предметов больше Марии.

Два пастуха

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Пётр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!»

Сколько же было у каждого овец?

Продажа яблок

Крестьянка принесла на рынок корзину яблок. Первому покупателю она продала половину всех своих яблок и ещё пол-яблока, второму — половину остатка и ещё пол-яблока, третьему — половину остатка и ещё пол-яблока и так далее. Когда же пришёл шестой покупатель и купил у неё половину оставшихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у него, как и у остальных покупателей, все яблоки целые и что крестьянка продала все свои яблоки. Сколько яблок она принесла на рынок?

Сколько деталей?

В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки — деталь. Стружки, получившиеся при выделке шести деталей, можно переплавить и приготовить ещё одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 свинцовых заготовок?

Средний сын рыжий

Два математика, не достигшие пенсионного возраста, после долгого перерыва встретились на одном из конгрессов. Приведём фрагмент их диалога:

— Ну, а дети у тебя есть?

— Конечно! У меня три сына.

— А сколько им лет?

— Ну, если перемножить, то будет как раз мой возраст. Надеюсь, ты ещё не забыл, сколько мне лет?

— (После короткого размышления). Не понимаю.

— Если сложить их возраст, то получится как раз сегодняшнее число.

— (Вновь после размышления). Всё равно не понимаю.

— Ну, хорошо, скажу ещё, что средний сын у меня рыжий.

— Теперь понял.

А вы можете определить, сколько лет каждому из сыновей?

Цирк уезжает

Известно, что один бегемот весит 1 т. 800 кг. Сколько бегемотов может увезти машина грузоподъёмностью в 5 т?

А сколько крокодилов сможет увезти та же машина, если вес одного крокодила 175 кг?

Портной

Портной имеет кусок сукна в 16 метров, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?

Трое рабочих копали канаву

Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате вся канава оказалась вырытой, а с начала работы прошло 8 часов. За какое время могли бы вырыть эту канаву все трое рабочих, работая вместе?

Электронные часы

Сколько времени в течение суток на табло электронных вокзальных часов светится хотя бы одна цифра 2 (часы не показывают секунды)?

Жадный изобретатель

Существует легенда, согласно которой изобретатель шахматной игры запросил у властелина, восхищённого этой игрой, следующую награду: за первую клетку доски — одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, за каждую последующую — в два раза больше, чем за предыдущую. Считая, что масса одного зерна равна 1/4 г, а максимальный годовой урожай Земли равен 5×1010 т (эта оценка завышена; её можно получить, если считать, что вся пахотная земля идёт под зерновые), оцените, за сколько лет можно собрать по всей Земле урожай, необходимый для выплаты причитающейся награды.

Куры и петухи

Хозяйка купила на рынке курицу. Эта курица снесла два яйца, после чего попала на обеденный стол. Из каждого яйца, как известно, может вылупиться либо курица, либо петух. Каждый петух попадал на стол, а каждая курица съедалась после того, как успевала снести два яйца. Через некоторое время этот процесс оборвался, поскольку появились одни лишь петухи. Выяснилось, что петухов всего было съедено 17 штук. Сколько было съедено кур?

Заготовка дров

После заготовки дров работник подсчитал, что из начального количества брёвен получилось 72 полена, при этом было сделано 53 распила. Сколько брёвен было сначала?

Пол-ореха

Три школьника делят между собой орехи. Сначала первый дал каждому из двух других по одной четверти имевшихся у него (у первого) орехов и ещё пол-ореха. Затем второй дал каждому из двух других по одной четвёртой части образовавшихся у него (у второго) орехов и ещё пол-ореха, затем это сделал третий. В результате у каждого оказалось по 30 орехов. Сколько орехов было у каждого школьника первоначально?

Червяк и книги

На книжной полке в правильном порядке стоит трёхтомное собрание сочинений некоего автора. Толщина первого тома равна 17 мм, второго 15 мм, а третьего — 12 мм. Толщина переплёта равна 1 мм (она входит в толщину тома). Книжный червь прополз от первой страницы первого тома до последней страницы третьего тома. Какой длины путь прополз червяк?

Вычислить в уме

Подсчитайте в уме, чему равны выражения:

1 234 567 890 2 – 1 234 567 889 × 1 234 567 891 = ?

19 911 991 × 199 219 921 992 – 19 921 992 × 199 119 911 991 = ?

Страницы

Подписаться на RSS - Умеете ли вы считать?