Требуется доказать

На доске выписаны все целые числа от 1 до 1966. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность. Докажите, что многократным повторением такой операции нельзя добиться, чтобы на доске остались только нули.

Сумма трёх целых чисел, являющихся точными квадратами, делится на девять. Докажите, что среди них есть два числа, разность которых делится на девять.

В автобусе без кондуктора едут 40 пассажиров, имеющих при себе только монеты достоинством в 10, 15 и 20 копеек. Всего при у пассажиров 49 монет. Докажите, что пассажиры не смогут уплатить требуемое количество денег в кассу и правильно рассчитаться между собой (стоимость автобусного билета составляет 5 копеек).

Докажите, что число 1 + 2^3456789 — составное.

Докажите, что из k целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на k.

Докажите, что семью кругами радиуса 1 можно покрыть полностью круг радиуса 2, но нельзя покрыть круг большего радиуса.

Сумма десяти чисел рана нулю. Сумма всех их попарных произведений также равна нулю. Докажите, что и сумма кубов этих чисел равна нулю.

В единичной квадратной решётке берётся произвольный единичный квадрат. Докажите, что одно из расстояний от произвольного узла решётки до вершин этого квадрата иррационально.

Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABDE и BCKL с центрами O₁ и O₂. M₁ и M₂ — середины отрезков DL и AC.

Докажите, что O₁M₁O₂M₂ — квадрат.

В шестизначном числе, которое делится на семь, последнюю цифру переставили в начало. Докажите, что полученное число также делится на семь.

Пусть f(x) = xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + a_n — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на p − m при любом целом m.

Даны три ненулевых целых числа K, M и N, причём K и M взаимно просты. Докажите, что найдётся такое целое x, что Mx + N делится на K.

Докажите, что шахматную доску 10×10 нельзя покрыть фигурками вида, указанного на рисунке:

Точка C — середина отрезка AB. На произвольном луче, проведённом из точки C и не лежащем на прямой AB, выбраны три последовательные точки P, M и Q так, что PM = MQ:

Докажите, что AP + BQ > 2CM.

На плоскости дано 2n точек. Докажите, что их можно попарно соединить так, чтобы отрезки не пересекались.

Дано 2n + 1 различных предметов. Докажите, что из них можно выбрать нечётное число предметов столькими же способами, сколькими чётное.

Трёхзначное число ABC делится на 37. Докажите, что сумма чисел BCA и CAB тоже делится на 37.

Докажите, что из любых шести человек всегда найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых между собой.

Следующие две задачи надо решить рассуждением «от противного»:

1. Произведение двух целых чисел больше 75. Доказать, что хотя бы один из сомножителей больше 8.

2. Произведение некоторого двузначного числа на 5 — тоже двузначное число. Доказать, что первая цифра данного множимого есть 1.

Два параллелограмма расположены, как показано на рисунке:

Докажите, что они равновелики (имеют одинаковую площадь).

Докажите, что 13-е число чаще приходится на пятницу, чем на любой другой день недели.

Докажите, что у любого многогранника найдутся по крайней мере две грани, являющиеся многоугольниками с равным числом сторон.

Квадратная доска 6×6 заполнена костяшками домино 1×2. Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг (то есть каждая команда должна к окончанию турнира сыграть по разу со всеми остальными). Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.

Имеется 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них всегда можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Центры O₁, O₂ и O₃ трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O₁, O₂, O₃ проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке:

Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, ..., n + 2011 — составные.

(Напомним, что натуральное число, большее единицы, называется составным, если его можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел. В противном случае число называется простым.)

25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то оба соседа — девочки.