Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки

*

2011 составных чисел

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, ..., n + 2011 — составные.

(Напомним, что натуральное число, большее единицы, называется составным, если его можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел. В противном случае число называется простым.)

На танцплощадке

На танцплощадке собрались n юношей и n девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

8 мирных ладей

Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

101 монета

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить, фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

45 точек на прямой

На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB:

Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

20 городов

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

11 шестерёнок

На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединённых по цепочке:

Могут ли все шестерёнки вращаться одновременно?

Слон и лист бумаги

При помощи ножниц вырежьте в тетрадном листе дырку, через которую мог бы пролезть слон. Или хотя бы бегемот.

6 карандашей

Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался любого другого?

127 рублей по семи кошелькам

Как разложить по семи кошелькам 127 рублёвых монет так, чтобы любую сумму от 1 до 127 рублей можно было бы выдать, не открывая кошельков?

Секретное сообщение

Разведка звёздной империи ФИГ-45 перехватила секретное шифрованное сообщение враждебной планеты Медуза: ДУРАК + УДАР = ДРАКА. Известно, что разные цифры зашифрованы разными буквами, а одинаковые цифры — одинаковыми буквами. Два электронных думателя взялись найти решение и получили два разных ответа. Может ли такое быть, или один из них надо сдать в переплавку?

Много булок

В примере на сложение цифры заменили буквами (причём одинаковые цифры — одинаковыми буквами, а разные цифры — разными буквами) и получили: БУЛОК + БЫЛО = МНОГО. Сколько же было булок? Их количество есть максимальное возможное значение числа МНОГО.

Чай с молоком

Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и тщательно размешивают смесь. Затем три ложки смеси переливают обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

Три черепахи

По дороге цепочкой ползут три черепахи. «За мной ползут две черепахи» — говорит первая. «За мной ползёт одна черепаха, и передо мной ползёт одна черепаха» — говорит вторая. «Передо мной ползут две черепахи, и за мной ползёт одна черепаха» — говорит третья. Как такое может быть?

Учитель и кружки

Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: «Сколько здесь кружков?». «Семь» — отвечает ученик. «Правильно. Так сколько здесь кружков?» — опять спрашивает учитель другого ученика. «Пять» — отвечает тот. «Правильно» — снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

Кот-предсказатель

Петин кот перед дождём всегда чихает. Сегодня он чихнул. «Значит, будет дождь» — думает Петя. Прав ли он?

Вычеркнуть десять цифр

Из числа 1234512345123451234512345 вычеркните 10 цифр так, чтобы оставшееся число было максимально возможным.

Прямоугольник 199 на 991

Сколько клеток пересекает диагональ в клетчатом прямоугольнике размерами 199 × 991?

Червяк на столбе

Червяк ползёт по столбу, начав путь от его основания. Каждый день он проползает вверх на 5 см, а за каждую ночь сползает вниз на 4 см. Когда он достигнет верхушки столба, если его высота равна 75 см?

Трое в автобусе

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

Напомним, что «медными» назывались монеты достоинством в 1, 2, 3 и 5 копеек, делавшиеся из бронзы. Помимо них в ходу были «серебряные» монеты достоинством в 10, 15, 20 и больше копеек, которые делались из никелевого сплава.

Бактерии в стакане

В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?

Шестизначные числа с чётными цифрами

Сколько существует шестизначных чисел, в записи которых есть хотя бы одна чётная цифра?

Профессор

Сын отца процессора разговаривает с отцом сына профессора, причём сам профессор в разговоре не участвует. Как такое может быть?

Четыре понедельника

В январе некоторого года было четыре пятницы и четыре понедельника. Каким днём недели было 20-е число этого месяца?

24 килограмма гвоздей

В мешке 24 кг гвоздей. Как, имея только весы без стрелки, отмерить 9 кг гвоздей?

Четыре квадрата

Из спичек сложена фигура, изображённая на рисунке. Как переложить две спички так, чтобы получилось ровно четыре одинаковых квадрата с длиной стороны, равной длине спички?

Выпавший кусок книги

Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 328, а номер последней записывается теми же цифрами, но в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?

Подписаться на RSS - Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки