Расстановки и раскраски

*

Отряд пионеров

Отряд пионеров выстроен прямоугольником. В каждой шеренге отмечается самый высокий, и из этих пионеров выбирается самый низкий. В каждом ряду отмечается самый низкий, и из них выбирается самый высокий. Какой из этих двух пионеров выше?

Примечания. Имеется в виду, что два указанных пионера — самый высокий из низких и самый низкий из высоких — должны быть разными. В шеренге стоят плечом к плечу, в ряду стоят в затылок друг другу.

Буквы в таблице 100×100

Имеется таблица 100×100. Каково наименьшее число букв, которые можно расставить в её клетках так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом?

Покрытие шахматной доски

Докажите, что шахматную доску 10×10 нельзя покрыть фигурками вида, указанного на рисунке:

По 55 копеек в ряд

Имеется 17 монет следующего достоинства:

    по 20 копеек — 5 штук,
    по 15 копеек — 3 штуки,
    по 10 копеек — 3 штуки,
    по 5 копеек — 6 штук.

Расположите эти монеты по квадратикам нарисованной фигуры так, чтобы сумма копеек вдоль каждой прямой линии, изображённой на рисунке, равнялась 55:

Три в ряд

Расположите 6 шашек в 3 ряда так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки.

Числовой треугольник со стороной 17

В кружках треугольника расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 17:

Сохранить чётность

16 монет расположены по 4 в ряд:

Нужно убрать 6 монет так, чтобы в каждом горизонтальном и каждом вертикальном ряду осталось по чётному числу монет.

Зал для танцев

В квадратном зале для танцев поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.

Рыцари круглого стола

Восемь рыцарей каждый год в установленное время собирались за круглым столом и устраивали общий пир. При этом они свято выполняли одно условие: всякий раз у каждого рыцаря была новая пара соседей. Какое наибольшее число лет могли продолжаться подобные встречи?

Задача о 9 фишках

Расположите 9 фишек так, чтобы они образовали 10 рядов по 3 фишки в одном ряду.

В шесть рядов

Вам известен, вероятно, шуточный рассказ о том, как девять лошадей расставлены были по десяти стойлам и в каждом стойле оказалась одна лошадь. Задача, которая сейчас будет предложена, по внешности сходна с этой знаменитой шуткой, но имеет не воображаемое, а вполне реальное решение. Она состоит в следующем:

Расставить 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.

Числовой треугольник со стороной 20

В кружках треугольника расставьте все девять значащих цифр так, чтобы сумма их на каждой стороне составляла 20:

Расстановка часовых

Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их так, как показано на рисунке, по 5 человек с каждой стороны:

Затем пришёл полковник и, недовольный размещением часовых, распорядился поставить солдат так, чтобы с каждой стороны их было по 6. Вслед за полковником пришёл генерал, рассердился на полковника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух последних случаях?

25 мальчиков и 25 девочек

25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то оба соседа — девочки.

8 мирных ладей

Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

За круглым столом. Продолжение

Если в предыдущей задаче один из участников переговоров сразу оказывается на своём месте, то можно ли в этом случае повернуть стол так, чтобы по крайней мере двое из участников переговоров оказались против карточек с их именами?

Напомним, что в предыдущей задаче 24 участника важных переговоров проводят заседания за круглым столом, сидя на одинаковом расстоянии друг от друга, причём место каждого участника за столом указано карточкой с его именем, и как-то раз после бурного обсуждения в кулуарах участники переговоров, сев за стол, обнаружили, что по ошибке каждый из них занял не своё место.

За круглым столом

Двадцать четыре участника важных переговоров проводят заседания за круглым столом, сидя на одинаковом расстоянии друг от друга. Место каждого участника за столом указано карточкой с его именем. Как-то раз после бурного обсуждения в кулуарах одного из пунктов повестки дня участники переговоров, сев за стол, обнаружили, что по ошибке каждый из них занял не своё место. Точное расположение участников за столом неизвестно. Можно ли тем не менее повернуть стол так, чтобы по крайней мере двое из участников переговоров оказались против карточек с их именами?

25 шахматных коней

На каждой клетке шахматной доски размером 5 × 5 стоит конь. Можно ли одновременно делать ход всеми 25 конями так, чтобы после хода все 25 клеток мини-доски снова оказались занятыми? Каждый конь ходит, как обычно: на два поля в одном направлении, после чего поворачивается на 90° и «приземляется» на соседнем поле.

Изуродованная шахматная доска

Из шахматной доски вырезали две угловые клетки, расположенные на концах «белой диагонали», так, как показано на рисунке:

Можно ли получившуюся «изуродованную» шахматную доску замостить 31 костью домино, каждая из которых накрывает ровно две клетки, таким образом, чтобы они полностью покрыли все 62 оставшиеся клетки доски? Если можно, то как?

Волшебный квадрат из 9 чисел

В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.

Плюсы и минусы

В клетках квадратной таблицы 4 × 4 расставлены знаки «+» и «–», как показано на рисунке. Разрешается одновременно менять знаки во всех клетках, расположенных в одной строке, в одном столбце или на прямой, параллельной какой-нибудь диагонали (в частности, в любой угловой клетке). Докажите, что сколько бы мы ни провели таких перемен, нам не удастся получить таблицу из одних «+».

Подписаться на RSS - Расстановки и раскраски