Математика в играх

*

Покрытие шахматной доски

Докажите, что шахматную доску 10×10 нельзя покрыть фигурками вида, указанного на рисунке:

Игра «ним»

На столе лежат три кучки спичек, состоящие соответственно из 7, 11 и 13 спичек. Игроки по очереди берут любое количество спичек из любой кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. В данной игре выигрывает начинающий. Укажите, как он должен играть? Каким должен быть его первый ход?

Эта игра широко известна. Называется она «ним». В общем случае число кучек, как и количество спичек в каждой кучке, может быть произвольным. Тем не менее существует оптимальная стратегия, одинаковая для всех случаев, обеспечивающая одному из игроков, в зависимости от начальной позиции, неизменный выигрыш. Может быть, вы сумеете найти эту стратегию?

Карточный фокус

Фокусник берёт колоду карт (52 штуки), обращённых рубашкой вверх, отсчитывает из них 20 штук, переворачивает рубашкой вниз и передаёт зрителю. Зритель, смешав перевёрнутые карты со всей колодой, тщательно перетасовывает колоду так, что перевёрнутые карты случайным образом распределяются в ней. Затем, держа колоду под столом, чтобы карты не были видны, отсчитывает 20 верхних карт и передаёт фокуснику.

Фокусник, беря стопку и держа её всё так же под столом, говорит: «Сейчас я на ощупь постараюсь уравнять число перевёрнутых карт в моей части колоды и в вашей. Для этого мне потребуется перевернуть ещё несколько карт». Затем после небольших манипуляций всё так же под столом вытаскивает свои карты, раскладывает их на столе, подсчитывает перевёрнутые. Их оказывается ровно столько, сколько среди 32 карт зрителя.

В чём секрет этого фокуса?

Доска с костяшками домино

Квадратная доска 6×6 заполнена костяшками домино 1×2. Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.

Футбольный турнир

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг (то есть каждая команда должна к окончанию турнира сыграть по разу со всеми остальными). Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.

Смерть линкора

Какое наименьшее число «выстрелов» надо сделать, чтобы в игре в «морской бой» наверняка хотя бы один раз попасть в линкор, одиноко плавающий по морю? Напомним, что в «морской бой» играют на квадрате 10×10, а «линкором» в этой игре называется «корабль» 1×4.

25 линкоров

Все мы в детстве играли в «морской бой». Напомним, что играется он на квадрате 10×10, на клетчатой бумаге. «Линкором» в этой игре называется «корабль» 1×4. В связи с этим возникает вопрос: можно ли весь квадрат для морского боя разрезать на 25 линкоров?

Игра со спичками посложнее

Немного усложним условия игры из предыдущей задачи.

Итак, на столе лежат 37 спичек. Разрешается по очереди брать не более 5 спичек, при этом запрещается повторять ход соперника. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю спичку либо поставит соперника в положение, при котором у него нет разрешённого хода. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или второй игрок? Как ему следует играть?

Простая игра со спичками

На столе лежит 37 спичек. Разрешается по очереди брать не более 5 спичек. Выигрывает тот, кто возьмёт последнюю. Кто выигрывает при правильной игре — начинающий игру или второй игрок? Как ему следует играть?

8 мирных ладей

Сколькими способами можно расставить 8 ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

«Крестики-нолики» на десятиклеточной доске

К доске для игры в обычные крестики и нолики добавлена одна-единственная клетка:

Может ли игрок, делающий первый ход, обеспечить себе на новой доске верный выигрыш?

Начало и конец цепи

Когда 28 костей домино выложены в цепь, на одном её конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

Подписаться на RSS - Математика в играх