Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады

*

Преобразование последовательности

На доске выписаны все целые числа от 1 до 1966. Разрешается стереть любые два числа, записав вместо них их разность. Докажите, что многократным повторением такой операции нельзя добиться, чтобы на доске остались только нули.

Чёрные брызги

На белую плоскость брызнули чёрной краской. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1965 метрам.

На лысой резине

Передние покрышки автомобиля стираются через 25 000 км пути, а задние через 15 000 км пути. Когда нужно поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно?

В переплётной мастерской

В переплётной мастерской было 92 листа белой бумаги и 135 листов цветной бумаги. На переплёт каждой книги уходило по листу белой и по листу цветной бумаги. После переплёта нескольких книг белой бумаги оказалось вдвое меньше, чем цветной. Сколько книг было переплетено?

Сумма четвёртых степеней

Найдите все целые значения для X и Y такие, чтобы X 4 + 4Y 4 было простым числом.

Отряд пионеров

Отряд пионеров выстроен прямоугольником. В каждой шеренге отмечается самый высокий, и из этих пионеров выбирается самый низкий. В каждом ряду отмечается самый низкий, и из них выбирается самый высокий. Какой из этих двух пионеров выше?

Примечания. Имеется в виду, что два указанных пионера — самый высокий из низких и самый низкий из высоких — должны быть разными. В шеренге стоят плечом к плечу, в ряду стоят в затылок друг другу.

Буквы в таблице 100×100

Имеется таблица 100×100. Каково наименьшее число букв, которые можно расставить в её клетках так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом?

В клетках шахматной доски

В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найдите число, стоящее на поле e2.

Степень натурального числа

При каких значениях n выражение 2n + 1 является нетривиальной степенью натурального числа?

Первые 1963 цифры

Найдите первые 1963 цифры после запятой в десятичной записи числа (√26 + 5)1963.

Сумма трёх квадратов

Сумма трёх целых чисел, являющихся точными квадратами, делится на девять. Докажите, что среди них есть два числа, разность которых делится на девять.

Сумма всех остатков

Некоторое натуральное число A делят с остатком на все натуральные числа, меньшие A. Сумма всех различных (!) остатков оказалась равна A. Найдите A.

40 пассажиров

В автобусе без кондуктора едут 40 пассажиров, имеющих при себе только монеты достоинством в 10, 15 и 20 копеек. Всего при у пассажиров 49 монет. Докажите, что пассажиры не смогут уплатить требуемое количество денег в кассу и правильно рассчитаться между собой (стоимость автобусного билета составляет 5 копеек).

Составное число

Докажите, что число 1 + 23456789 — составное.

Пять городов

Расстояние от города A до города B (по воздуху) равно 30 км, от B до C — 80 км, от C до D — 236 км, от D до E — 86 км, от E до A — 40 км. Найдите расстояние от E до C.

По шоссе и по тропинке

Из пункта A в пункт B вышли два человека. Первый шёл по шоссе со скоростью 5 км/ч, а второй по тропинке со скоростью 4 км/ч. Первый из них пришёл в пункт B на час позже и прошёл на 6 км больше. Найдите расстояние от A до B по тропинке.

k целых чисел

Докажите, что из k целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на k.

Покрытие круга

Докажите, что семью кругами радиуса 1 можно покрыть полностью круг радиуса 2, но нельзя покрыть круг большего радиуса.

Сумма десяти чисел

Сумма десяти чисел рана нулю. Сумма всех их попарных произведений также равна нулю. Докажите, что и сумма кубов этих чисел равна нулю.

Единичная квадратная решётка

В единичной квадратной решётке берётся произвольный единичный квадрат. Докажите, что одно из расстояний от произвольного узла решётки до вершин этого квадрата иррационально.

Только единицы

Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

Квадраты на сторонах треугольника

На сторонах AB и BC треугольника ABC построены квадраты ABDE и BCKL с центрами O1 и O2. M1 и M2 — середины отрезков DL и AC.

Докажите, что O1M1O2M2 — квадрат.

Перестановка цифр в шестизначном числе

В шестизначном числе, которое делится на семь, последнюю цифру переставили в начало. Докажите, что полученное число также делится на семь.

Он Брежнева видел

Возраст человека в 1962 году был на единицу больше суммы цифр года его рождения. Сколько ему лет?

Взаимно простые числа

Числа A и B взаимно просты. Какие общие делители могут иметь числа A + B и A − B?

Многочлен с целыми коэффициентами

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + ... + an — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на pm при любом целом m.

Наименьшее значение

Найдите наименьшее значение выражения (a2 + x2) / x, где a > 0 — константа, а x > 0 — переменная. При этом надо обойтись без дифференцирования.

n единичных чисел

Дано n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно +1 или −1. При этом

x1x2 + x2x3 + ... + xn−1xn + xnx1 = 0.

Докажите, что n делится на 4.

Три ненулевых целых числа

Даны три ненулевых целых числа K, M и N, причём K и M взаимно просты. Докажите, что найдётся такое целое x, что Mx + N делится на K.

Покрытие шахматной доски

Докажите, что шахматную доску 10×10 нельзя покрыть фигурками вида, указанного на рисунке:

Страницы

Подписаться на RSS - Фомин Д. В. Санкт-Петербургские математические олимпиады