Функции и уравнения

*

Сумма четвёртых степеней

Найдите все целые значения для X и Y такие, чтобы X 4 + 4Y 4 было простым числом.

Степень натурального числа

При каких значениях n выражение 2n + 1 является нетривиальной степенью натурального числа?

Сумма десяти чисел

Сумма десяти чисел рана нулю. Сумма всех их попарных произведений также равна нулю. Докажите, что и сумма кубов этих чисел равна нулю.

Многочлен с целыми коэффициентами

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + ... + an — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на pm при любом целом m.

Наименьшее значение

Найдите наименьшее значение выражения (a2 + x2) / x, где a > 0 — константа, а x > 0 — переменная. При этом надо обойтись без дифференцирования.

Уравнение с целыми частями

Решите уравнение X 3 − [X] = 3.

Здесь [X] означает «целая часть» числа X, то есть наибольшее целое число, не превосходящее X.

Подписаться на RSS - Функции и уравнения