Шарыгин И. Ф. Математический винегрет

*

Средний сын рыжий

Два математика, не достигшие пенсионного возраста, после долгого перерыва встретились на одном из конгрессов. Приведём фрагмент их диалога:

— Ну, а дети у тебя есть?

— Конечно! У меня три сына.

— А сколько им лет?

— Ну, если перемножить, то будет как раз мой возраст. Надеюсь, ты ещё не забыл, сколько мне лет?

— (После короткого размышления). Не понимаю.

— Если сложить их возраст, то получится как раз сегодняшнее число.

— (Вновь после размышления). Всё равно не понимаю.

— Ну, хорошо, скажу ещё, что средний сын у меня рыжий.

— Теперь понял.

А вы можете определить, сколько лет каждому из сыновей?

Цирк уезжает

Известно, что один бегемот весит 1 т. 800 кг. Сколько бегемотов может увезти машина грузоподъёмностью в 5 т?

А сколько крокодилов сможет увезти та же машина, если вес одного крокодила 175 кг?

Путешествие по пустыне

Передвигаясь по пустыне, путешественник за один день может преодолеть 20 км, при этом он может нести с собой запас продуктов и воды на 6 дней и имеет право на маршруте делать склады. На краю пустыни расположена база, на которой имеется 30-дневный запас продуктов и куда после окончания путешествия необходимо вернуться. Сможет ли путешественник углубиться в пустыню на расстояние более 135 км?

Может ли при тех же условиях путешественник пересечь пустыню шириной 210 км, если возвращение на базу необязательно?

Три черепахи

Три черепахи ползали наперегонки. После окончания соревнований черепаха А заявила, что она опередила Б, черепаха Б сказала, что приползла не последней, а черепаха В утверждала, что была впереди А. Можете ли вы дать достаточно правдоподобное объяснение таким ответам?

Два параллелограмма

Два параллелограмма расположены, как показано на рисунке:

Докажите, что они равновелики (имеют одинаковую площадь).

Чёрная пятница

Докажите, что 13-е число чаще приходится на пятницу, чем на любой другой день недели.

4 поворота

Квадрат повёрнут 4 раза, каждый поворот на 90 градусов. Оказалось, что эти четыре поворота можно заменить одним и также на 90 градусов. Как это можно сделать?

Прогулки учёных

Профессор Иванов и доцент Поливанов живут недалеко друг от друга. Они любят прогуливаться по вечерам от своего дома до дома коллеги и обратно, проходя этот маршрут по несколько рaаз. Однажды они вышли из своих домов одновременно. В первый раз они поравнялись на расстоянии 55 м от дома профессора. Второй раз это произошло на расстоянии 85 м от дома доцента. На расстоянии 25 м от дома доцента находится газетный киоск, а неподалёку от дома процессора — киоск, торгующий мороженым. Известно, что, выйдя из своих домов, профессор и доцент одновременно прошли мимо ближайших киосков. Чему равно расстояние между киосками?

По кольцевой дороге

По кольцевой дороге в обоих направлениях движутся поезда. Каждый поезд проходит всё кольцо за 2 часа. В одном направлении поезда идут с интервалом 10 минут, а в другом — с интервалом 15 минут. Сколько встречных поездов встретит поезд, следующий в одном, и сколько в другом направлении за один круг?

Трое рабочих копали канаву

Сначала первый рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, затем второй рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву, и, наконец, третий рабочий проработал половину времени, необходимого двум другим, чтобы вырыть всю канаву. В результате вся канава оказалась вырытой, а с начала работы прошло 8 часов. За какое время могли бы вырыть эту канаву все трое рабочих, работая вместе?

Игра «ним»

На столе лежат три кучки спичек, состоящие соответственно из 7, 11 и 13 спичек. Игроки по очереди берут любое количество спичек из любой кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. В данной игре выигрывает начинающий. Укажите, как он должен играть? Каким должен быть его первый ход?

Эта игра широко известна. Называется она «ним». В общем случае число кучек, как и количество спичек в каждой кучке, может быть произвольным. Тем не менее существует оптимальная стратегия, одинаковая для всех случаев, обеспечивающая одному из игроков, в зависимости от начальной позиции, неизменный выигрыш. Может быть, вы сумеете найти эту стратегию?

Шестизначный палиндром

Найдите шестизначное число, являющееся палиндромом и точным квадратом.

Напомним, что «палиндромом» называется одно слово, фраза или выражение, одинаково читающееся с начала и с конца (без учёта пропусков между словами и знаков препинания). В данной задаче речь идёт о числе, одинаково читающемся слева направо и справа налево.

Пять булыжников

Есть 5 различных по тяжести булыжников. За семь взвешиваний на весах без гирь расположите их по возрастанию массы.

Карточный фокус

Фокусник берёт колоду карт (52 штуки), обращённых рубашкой вверх, отсчитывает из них 20 штук, переворачивает рубашкой вниз и передаёт зрителю. Зритель, смешав перевёрнутые карты со всей колодой, тщательно перетасовывает колоду так, что перевёрнутые карты случайным образом распределяются в ней. Затем, держа колоду под столом, чтобы карты не были видны, отсчитывает 20 верхних карт и передаёт фокуснику.

Фокусник, беря стопку и держа её всё так же под столом, говорит: «Сейчас я на ощупь постараюсь уравнять число перевёрнутых карт в моей части колоды и в вашей. Для этого мне потребуется перевернуть ещё несколько карт». Затем после небольших манипуляций всё так же под столом вытаскивает свои карты, раскладывает их на столе, подсчитывает перевёрнутые. Их оказывается ровно столько, сколько среди 32 карт зрителя.

В чём секрет этого фокуса?

Многогранник

Докажите, что у любого многогранника найдутся по крайней мере две грани, являющиеся многоугольниками с равным числом сторон.

Доска с костяшками домино

Квадратная доска 6×6 заполнена костяшками домино 1×2. Докажите, что можно провести вертикальный или горизонтальный разрез этой доски, не пересекающий ни одной из костяшек домино.

Очередной век

Фантастический роман начинался со слов: «Очередной век наступил в воскресенье». Укажите ошибку в этой фразе.

Две проекции

На рисунке изображены проекции (вид сверху) двух многогранников:

Никаких невидимых рёбер у них нет. Не кажется ли вам, что эти рисунки относятся к категории невозможных? Почему?

Футбольный турнир

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг (то есть каждая команда должна к окончанию турнира сыграть по разу со всеми остальными). Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.

Сумма кубов цифр

Найдите все трёхзначные числа, равные сумме кубов своих цифр.

XXI век

С какой даты начался XXI век?

Два десятизначных числа

Найдите пару десятизначных чисел, каждое из которых является описанием другого, то есть первая цифра одного числа равна числу нулей в другом числе, вторые цифры взаимно информируют о числе единиц, и так далее.

Проверка на радиоактивность

Известно, что среди 18 шаров два радиоактивных. Можно проверять на радиоактивность кучку из любых шаров. Как за 8 таких проверок наверняка найти оба радиоактивных шара?

От 1 до 16

За какое наименьшее число вопросов можно угадать задуманное число между 1 и 16, если один раз отвечающий имеет право соврать? (Вопросы должны предполагать лишь ответы «да или «нет».)

Четверостишие

Следующие четыре строки представляют собой зашифрованное всем известное четверостишие:

Мяжя Дяма клёнгё брящэд,
Юлёмыря ф лэщгю нащыг.
Дыжэ, Дямэщгя, мэ брящь,
Мэ юдёмэд ф лэщге нащ.

Как измерить диагональ кирпича?

Предложите способ измерения диагонали обыкновенного строительного кирпича с помощью одной лишь рулетки, который легко реализуется на практике. Постарайтесь при этом забыть о теореме Пифагора.

Электронные часы

Сколько времени в течение суток на табло электронных вокзальных часов светится хотя бы одна цифра 2 (часы не показывают секунды)?

Улитка на склоне

Улитка взбирается по крутому склону длиной 10 м. Она движется лишь днём и преодолевает за день 3 м, ночью же она отдыхает и за это время под действием силы тяжести сползает на 2 м. Через какое время улитка достигнет вершины?

Продолжим задачу. Предположим, что, перевалив через гребень, улитка сразу же начинает спуск в том же режиме. Через какое время после начала движения она вновь окажется на горизонтальной поверхности?

Жадный изобретатель

Существует легенда, согласно которой изобретатель шахматной игры запросил у властелина, восхищённого этой игрой, следующую награду: за первую клетку доски — одно пшеничное зерно, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, за каждую последующую — в два раза больше, чем за предыдущую. Считая, что масса одного зерна равна 1/4 г, а максимальный годовой урожай Земли равен 5×1010 т (эта оценка завышена; её можно получить, если считать, что вся пахотная земля идёт под зерновые), оцените, за сколько лет можно собрать по всей Земле урожай, необходимый для выплаты причитающейся награды.

Пятница, 13-е

Докажите, что каждый год 13-е число какого-то месяца приходится на пятницу.

Страницы

Подписаться на RSS - Шарыгин И. Ф. Математический винегрет