Теория чисел

При каких значениях n выражение 2ⁿ + 1 является нетривиальной степенью натурального числа?

Сумма трёх целых чисел, являющихся точными квадратами, делится на девять. Докажите, что среди них есть два числа, разность которых делится на девять.

Докажите, что число 1 + 2^3456789 — составное.

Докажите, что из k целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на k.

Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

В шестизначном числе, которое делится на семь, последнюю цифру переставили в начало. Докажите, что полученное число также делится на семь.

Числа A и B взаимно просты. Какие общие делители могут иметь числа A + B и A − B?

Пусть f(x) = xⁿ + a₁xⁿ⁻¹ + ... + a_n — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на p − m при любом целом m.

Дано n чисел x₁, x₂, ..., x_n, каждое из которых равно +1 или −1. При этом

x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_n−1x_n + x_nx₁ = 0.

Докажите, что n делится на 4.

Даны три ненулевых целых числа K, M и N, причём K и M взаимно просты. Докажите, что найдётся такое целое x, что Mx + N делится на K.

Трёхзначное число ABC делится на 37. Докажите, что сумма чисел BCA и CAB тоже делится на 37.

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, ..., n + 2011 — составные.

(Напомним, что натуральное число, большее единицы, называется составным, если его можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел. В противном случае число называется простым.)