Теория чисел

*

Степень натурального числа

При каких значениях n выражение 2n + 1 является нетривиальной степенью натурального числа?

Сумма трёх квадратов

Сумма трёх целых чисел, являющихся точными квадратами, делится на девять. Докажите, что среди них есть два числа, разность которых делится на девять.

Составное число

Докажите, что число 1 + 23456789 — составное.

k целых чисел

Докажите, что из k целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на k.

Только единицы

Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

Перестановка цифр в шестизначном числе

В шестизначном числе, которое делится на семь, последнюю цифру переставили в начало. Докажите, что полученное число также делится на семь.

Взаимно простые числа

Числа A и B взаимно просты. Какие общие делители могут иметь числа A + B и A − B?

Многочлен с целыми коэффициентами

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + ... + an — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на pm при любом целом m.

n единичных чисел

Дано n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно +1 или −1. При этом

x1x2 + x2x3 + ... + xn−1xn + xnx1 = 0.

Докажите, что n делится на 4.

Три ненулевых целых числа

Даны три ненулевых целых числа K, M и N, причём K и M взаимно просты. Докажите, что найдётся такое целое x, что Mx + N делится на K.

Деление на 37

Трёхзначное число ABC делится на 37. Докажите, что сумма чисел BCA и CAB тоже делится на 37.

Прогрессия–729

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

2011 составных чисел

Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, ..., n + 2011 — составные.

(Напомним, что натуральное число, большее единицы, называется составным, если его можно представить в виде произведения двух меньших натуральных чисел. В противном случае число называется простым.)

Подписаться на RSS - Теория чисел