Разрезания и развёртки

Представьте себе деревянный куб со стороной 3 см, вся поверхность которого окрашена в чёрный цвет.

1. Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 1 см?
2. Сколько получится таких кубиков?
3. Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
4. Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
5. Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
6. Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
7. Сколько кубиков будет неокрашенных?

Как разрезать равносторонний треугольник на 4 равные части, видно из рисунка:

Если удалить верхний треугольник, то оставшиеся 3 треугольника образуют трапецию:

Попробуйте её разрезать тоже на 4 равные части.

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на 4 равных четырёхугольника:

У одной хозяйки был прямоугольный коврик размером 120 на 90 сантиметров. Два противоположных угла его истрепались, пришлось их отрезать (на рисунке эти треугольные куски заштрихованы):

Но хозяйке всё же хотелось иметь коврик в форме прямоугольника. Она поручила мастеру разрезать его на такие две части, чтобы из них можно было сшить прямоугольник, не теряя, конечно, ни кусочка материи. Мастер исполнил желание хозяйки.

Как ему удалось это сделать?

Имеются два квадрата — 3×3 и 1×1. Разрезать эти квадраты на части, из которых можно было бы сложить один квадрат.

Если вы справились с этой задачей, то попробуйте решить её в общем виде: перекроить два произвольных квадрата в один.

На рисунке изображены две необычные развёртки куба. Как сложить из них куб?

Какие из фигур, изображённых на рисунке, могут служить развёртками единичного куба, а какие нет?

Кусок бумаги имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна 4, а другая 9 единицам длины. Как разрезать этот прямоугольник на две равные части так, чтобы, сложив их надлежащим образом, получить квадрат?

Фигуру лунного серпа нужно разделить на 6 частей, проведя только 2 прямые линии:

Один плотник решил распилить кубик размером 3 × 3 × 3 см на 27 кубиков с ребром в 1 см. Это делается очень просто: надо распилить куб по шести плоскостям, не разнимая его при этом на куски:

Можно ли уменьшить число распилов, если после каждого из них складывать отпиленные части по-новому?

Эту задачу придумал Ф. Хоуторн.

Плитка шоколада состоит из отдельных долек, образующих 4 горизонтальных и 8 вертикальных рядов. За какое наименьшее число разломов эту плитку можно разломать на отдельные дольки, если всякий раз ломать разрешается лишь один кусок?

На рисунке изображены две фигуры. Первую из них надо разрезать на четыре равные фигуры, а вторую на пять.

Фигуру, изображённую на рисунке (центр дуги — в вершине квадрата, отмеченной жирной точкой), разрезать на две равные фигуры. На три равные фигуры.