Числовые головоломки

*

В клетках шахматной доски

В клетках шахматной доски стоят натуральные числа так, что каждое равно среднему арифметическому своих соседей. Сумма чисел, стоящих в углах доски, равна 16. Найдите число, стоящее на поле e2.

ATOM × ATOM

Решите следующий числовой ребус:

Здесь цифры заменены буквами и звёздочками. Одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — неодинаковые цифры; звёздочки же поставлены взамен любых цифр, как одинаковых, так и неодинаковых.

Загадочное деление: одинокая восьмёрка

Этот ребус усложнён тем, что не известно даже число цифр делителя, и всё же ребус имеет единственное решение:

МУХА : ХА = УХА

Решите следующий числовой ребус:

Здесь цифры заменены буквами, причём одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — неодинаковые цифры.

Ещё один числовой ребус

Восстановите этот пример умножения, подставив вместо звёздочек подходящие цифры:

Задача имеет единственное решение.

ABC × BAC

Решите следующий числовой ребус:

Здесь цифры заменены буквами и звёздочками. Одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, а разными буквами — неодинаковые цифры; звёздочки же поставлены взамен любых цифр, как одинаковых, так и неодинаковых.

Первые 1963 цифры

Найдите первые 1963 цифры после запятой в десятичной записи числа (√26 + 5)1963.

Сумма всех остатков

Некоторое натуральное число A делят с остатком на все натуральные числа, меньшие A. Сумма всех различных (!) остатков оказалась равна A. Найдите A.

40 пассажиров

В автобусе без кондуктора едут 40 пассажиров, имеющих при себе только монеты достоинством в 10, 15 и 20 копеек. Всего при у пассажиров 49 монет. Докажите, что пассажиры не смогут уплатить требуемое количество денег в кассу и правильно рассчитаться между собой (стоимость автобусного билета составляет 5 копеек).

Он Брежнева видел

Возраст человека в 1962 году был на единицу больше суммы цифр года его рождения. Сколько ему лет?

Сумма квадратов

Найти n + 1 последовательных чисел, сумма квадратов которых равна сумме квадратов следующих n чисел.

9 десятью цифрами

При помощи десяти различных цифр можно составить шесть таких дробей, что каждая из них будет равна 9.

Три дроби таковы:

9 = 97 524 / 10 836 = 95 823 / 10 647 = 57 429 / 06 381

Найдите остальные три.

Все за одну

Если одна цифра 2, употреблённая не более 5 раз, или одна цифра 4, употреблённая не более четырёх раз, в состоянии заменить собой любую из цифр от 1 до 9, то и вся эта дружная семья цифр не останется в долгу.

Участвуя всей семьёй сразу (но без нуля), они могут заменить собой любую цифру своего же семейства.

Вот так, например, они заменяют 2 и 4:

2 = 13 458 / 6729

4 = 15 768 / 3942

Каждая из этих неправильных дробей содержит все цифры от 1 до 9, причём каждую только по одному разу.

Составляя аналогичные дроби из тех же цифр и употребляя каждую цифру только по одному разу, вы можете образовать числа 3, 5, 6, 7, 8 и 9, то есть все остальные однозначные числа, кроме 1.

Для изображения 1 посредством девяти цифр надо придумать особый способ.

Одна за всех

Обобщим предыдущую задачу.

Изобразить целое число при помощи ровно четырёх любых одинаковых цифр, соединяя их математическими знаками. Это значит: изобразить число четырьмя цифрами так, чтобы при замене этих цифр четвёркой любых других одинаковых цифр (кроме нуля) получилось то же число. Например:

3 = (n + n + n) : n

При этом разрешается употреблять знаки сложения, вычитания, умножения и деления, скобки. Если этих знаков окажется недостаточно, то ещё

  1. знак квадратного радикала: √ ;
  2. знак факториала: ! (этот знак ставится справа от числа и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа включительно; например 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120)
  3. точку перед числом (на уровне строки), например .4 (так иногда обозначают десятичную дробь: .4 = 0,4);
  4. точку перед числом и над числом, например .4̇ (так иногда обозначают периодическую дробь: .4̇ = 0,(4) = 4/9)

Известны решения этой задачи для любых целых чисел от 1 до 21, кроме 14.

Четырьмя четвёрками

Изобразите все целые числа от 1 до 10 с помощью четырёх цифр 4.

Пятью двойками

Запишите каждое из чисел от 1 до 26 с помощью только пяти двоек, пользуясь для этого четырьмя арифметическими действиями, возведением в квадрат и скобками.

Примечание: Изобразить число 27 пятью двойками при таких условиях не получится.

Без уравнений

Следующие две задачи надо решить с помощью «чистых» рассуждений, без использования уравнений.

1. Если некоторое двузначное число прочесть справа налево, то полученное «обращённое» число будет в 4,5 раза больше данного. Что это за число?

2. Произведение четырёх последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.

От противного

Следующие две задачи надо решить рассуждением «от противного»:

1. Произведение двух целых чисел больше 75. Доказать, что хотя бы один из сомножителей больше 8.

2. Произведение некоторого двузначного числа на 5 — тоже двузначное число. Доказать, что первая цифра данного множимого есть 1.

Во сколько раз больше?

Если от каждого из двух чисел отнять половину меньшего из них, то остаток от большего будет втрое больше остатка от меньшего.

Во сколько раз большее число больше меньшего?

Сто пятью последовательными цифрами

Записать число 100, используя по разу каждую из цифр 1, 2, 3, 4, 5. Порядок цифр изменять не разрешается.

Одна седьмая

Из семи спичек выложено число 1/7:

Превратите эту дробь в число 1/3, не прибавляя и не убавляя спичек.

100 из десяти цифр

Употребляя по одному разу каждую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, составить такие смешанные дроби, сумма которых составила бы 100. (Возможно несколько решений.)

Две дроби из 10 цифр

Из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составить две равные дроби, сумма которых равна 1. Употребить необходимо все цифры и притом каждую из них только по одному разу. (Возможно несколько решений.)

Пары чисел

Какие два числа при умножении одного на другое и при вычитании одного из другого дают один и тот же результат?

Таких пар чисел неисчислимо много. Как образуются эти пары?

Девять цифр

Сумма двух чисел, образованных из цифр 1, 3, 5, 7 и 9, равна сумме двух чисел, образованных из цифр 2, 4, 6 и 8. Найдите эти числа, употребляя каждую цифру по одному разу.

Примечание: Применять неправильные дроби при этом не разрешается.

20 двенадцатью цифрами

Написать число 20, употребляя только цифры 1, 3, 5 и 7, причём каждую из них ровно по 3 раза.

20 четырьмя девятками

Написать число 20 при помощи четырёх девяток.

Пятьдесят пять

Записать число 55, используя только пять четвёрок.

Сто шестью цифрами

Выразить 100 шестью одинаковыми цифрами.

Тридцать семь

Число 37 записано при помощи пяти троек:

37 = 33 + 3 + 3/3.

Найдите другой способ выразить число 37 при помощи пяти троек.

Страницы

Подписаться на RSS - Числовые головоломки