Прогрессия–729

Утверждение задачи равносильно тому, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что число 10ⁿ – 1 делится на 729.

Если n = 81,то

10ⁿ – 1 = 9...9 (81 цифра) = 9 × 1...1 × 10..010...0...10...01.

Второй сомножитель в этом произведении состоит из 9 единиц, а третий представляет собой повторенное 8 раз число 10⁸ плюс единица. Таким образом, второй и третий сомножители содержат в своей записи по 9 единиц (а третий ещё нули), поэтому их суммы цифр делятся на 9, а значит, и сами эти числа делятся на 9. Таким образом, 10⁸¹ – 1 делится на 9³ = 729.

Так как для любого натурального k число 10^81k – 1 очевидным образом делится на 10⁸¹ – 1, то тем самым доказывается утверждение задачи.