Прогулки учёных

Возможны три случая.

1. К моменту второй встречи оба прошли по одному разу весь путь. Пусть S — расстояние между домами. К первой встрече суммарный путь равен S, ко второй — 3S. Профессор прошёл 3 × 55 = 165 м. С другой стороны, его путь равен S + 85, то есть 165 = S + 85, откуда S = 80. Но этого не может быть, поскольку из условия следует, что между домами более 85 м. Значит, этот случай невозможен.

2. Предположим, что во второй раз профессор догнал доцента. Но тогда скорость профессора превышала бы скорость доцента более, чем в два раза. Значит, путь, пройденный доцентом к моменту первой встречи, был бы менее половины пути профессора, то есть меньше 0,5 × 55, а расстояние между домами будет меньше, чем 55 + 27,5 = 82,5 < 85. Этот случай также невозможен.

3. Остаётся одно — доцент догнал профессора. Отношение путей, пройденных профессором и доцентом во все моменты времени, постоянно и равно отношению их скоростей. В момент первой встречи эти пути равны соответственно 55 и S – 55, в момент второй (точнее, в момент, когда доцент догнал профессора) их пути равны S – 85 и 2S – 85. Имеем пропорцию 55/(S – 55) = (S – 85)/(2S – 85). По свойству пропорций, которое приведено в подсказке, каждая из этих дробей равна (S – 195)/25. Значит, когда доцент прошёл 25 м, профессор прошёл S – 195 м, и был на расстоянии 195 м от дома доцента. Следовательно, расстояние между киосками равно 195 – 25 = 170 м.