Без уравнений

*

Опубликовано:

09.12.2011

Категория:

Сложность:

Следующие две задачи надо решить с помощью «чистых» рассуждений, без использования уравнений.

1. Если некоторое двузначное число прочесть справа налево, то полученное «обращённое» число будет в 4,5 раза больше данного. Что это за число?

2. Произведение четырёх последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.

Подсказка

1. Известный признак делимости на 9: целое число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Решение

1. Чтобы найти искомое число, можно выстроить следующую цепочку рассуждений:

Искомое число больше 10, так как оно двузначное, а «обращённое» число не может начинаться с нуля.
Оно меньше 23, поскольку 23 × 4,5 = 103,5 — число трёхзначное.
Искомое число чётное, так как при умножении его на 4,5 получается целое число.
Обращённое число по условию в 9 раз больше половины данного числа, значит, обращённое число кратно 9.
Так как обращённое число кратно 9, то сумма его цифр делится на 9.
Поскольку искомое число состоит из тех же цифр, что и обращённое, то и оно делится на 9.
Между 10 и 23 есть только одно число, делящееся нацело на 9, — число 18. Легко убедиться, что оно удовлетворяет условиям задачи.

2. Для решения этой задачи можно предложить следующую схему рассуждений:

Среди искомых чисел не может быть числа 10, поскольку тогда их произведение оканчивалось бы на 0.
По той же причине среди них не может быть чисел, оканчивающихся на 5.
Искомые числа должны быть меньше 10, так как произведение чисел от 11 до 14 намного больше, чем 3024.
Значит, допустимыми являются только две группы чисел: 1, 2, 3, 4 и 6, 7, 8, 9. Легко проверить, что условию задачи удовлетворяет только вторая группа.