Сумма квадратов
*
Найти n + 1 последовательных чисел, сумма квадратов которых равна сумме квадратов следующих n чисел.
Обозначим первое из искомых чисел через x. Должно выполняться равенство:
x2 + (x + 1)2 + ... + (x + n)2 = (x + n + 1)2 + (x + n + 2)2 + ... + (x + 2n)2.
Перенесём все слагаемые из левой части, кроме первого, в правую часть:
x2 = [(x + n + 1)2 − (x + 1)2] + ... + [(x + 2n)2 − (x + n)2].
Преобразуем содержимое каждой квадратной скобки по формуле разности квадратов
x2 = n (2x + n + 2) + ... + n (2x + n + 2n),
или
x2 = n [(2x + ... + 2x) + (n + ... + n) + (2 + 4 + ... + 2n)].
(в каждой круглой скобке по n слагаемых). В последней круглой скобке — сумма n членов арифметической прогрессии:
2 + 4 + ... + 2n = (2 + 2n) n / 2 = (n + 1) n.
Таким образом,
x2 = n [2xn + n2 + n (n + 1)],
или
x2 − 2n2x − 2n3 − n2 = 0.
Решая квадратное уравнение
x2 − 2n2x − n2(2n + 1) = 0,
получаем x1 = n (2n + 1) и x2 = −n, где n = 1, 2, 3, ... Второе значение корня, будучи подставлено в исходное уравнение, приводит к тождеству при любом n:
(−n)2 + (−n + 1)2 + ... + (−1)2 = 12 + 22 + ... + n2.
Значит, только первое значение корня может привести к решению задачи. Положим n = 1. Это значит — ограничимся в правой части исходного равенства одним, а в левой — двумя слагаемыми. При n = 1, x = 3 мы имеем:
32 + 42 = 52.
При n = 2 в правой части исходного равенства будет 2 слагаемых, а в левой — три:
102 + 112 + 122 = 132 + 142.
При n = 3 в правой части равенства будет 3 слагаемых, а в левой — четыре:
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.
Процесс образования равных сумм квадратов последовательных чисел можно продолжать сколь угодно далеко.
Добавить комментарий