$Задачи и головоломки$

Наименьшее значение

*

Опубликовано:

07.01.2012

Категория:

Сложность:

Найдите наименьшее значение выражения (a² + x²) / x, где a > 0 — константа, а x > 0 — переменная. При этом надо обойтись без дифференцирования.

Подсказка

Для любого положительного числа y справедливо неравенство:

1/y + y ≥ 2,

причём равенство достигается только при y = 1. Это сразу следует из неравенства (y − 1)² ≥ 0.

Решение

(a² + x²) / x = a (a/x + x/a) ≥ 2a.

Равенство достигается, когда x = a.