Многочлен с целыми коэффициентами
*
Опубликовано:
09.01.2012
Сложность:
Пусть
Решение
Пусть p = r/s, где r и s — целые взаимно простые числа. Подставляя p в многочлен, получаем, что
rn + a1rn−1s + ... + ansn = 0.
Поскольку все слагаемые, начиная со второго, делятся на s, то и первое слагаемое — rn — делится на s. Однако, поскольку r и s взаимно просты, это возможно только, если
Разделим теперь многочлен f(x) на
f(x) = g(x) (x − p) + A,
где A — целое число. Подставляя
f(x) = g(x) (x − p),
откуда следует и то, что f(m) делится на
Добавить комментарий