Только единицы
*
Опубликовано:
14.01.2012
Категория:
Сложность:
Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.
Решение
Рассмотрим числа 1, 11, 111, ..., 111...111 (p+1 единица). Поскольку их больше, чем p, то какие-то два из них имеют одинаковый остаток при делении на p. Их разность имеет вид 111...11000...00. Но так как p взаимно просто с 10, то из того, что 111...11000...00 делится на p, следует, что 111...11 делится на p.
Добавить комментарий