Победит сильнейший, или необычная дуэль

*

Сложность: 

Три гусара во время одной вечеринки смертельно поссорились и вызвали друг друга на дуэль. Условия дуэли следующие: все трое располагаются на равных расстояниях друг от друга и по очереди в определённом порядке в соответствии с заранее брошенным жребием делают по одному выстрелу. (При этом мишень каждый выбирает по своему усмотрению.)

Дуэль продолжается до тех пор, пока в живых не останется лишь один из трёх. Каждый из них хорошо знает стрелковые возможности соперников, при этом гусары А и Б попадают в среднем не менее 9 раз из 10, а гусар В — примерно 6 раз из 10. Кто из них имеет больше всего шансов остаться в живых в результате этой дуэли, если предположить, что каждый собирается максимально использовать свои возможности?

Решение

Больше всего шансов выжить в этой дуэли у гусара В. Для этого он должен ждать окончания перестрелки между А и Б, стреляя мимо, даже если он начинает дуэль. При этом предполагается, что гусары А и Б придерживаются оптимальной стратегии и стреляют в первую очередь в наиболее опасного противника, то есть друг в друга.

Как бы неправдоподобно это ни звучало, но в таком случае у гусара В шансы остаться в живых в три с лишним раза выше, чем у каждого из гусаров А и Б. В этом можно убедиться, вычислив соответствующие вероятности.

Вероятность того, что гусар В останется в живых после того, как гусары А и Б выяснят отношения друг с другом, равна сумме ряда

0,6 + 0,6·0,4·0,1 + 0,6·0,42·0,12 + 0,6·0,43·0,13 + ... = 0,6 / (1 – 0,4·0,1) = 0,625.

(Первое слагаемое равно вероятности того, что гусар В попадёт в своего соперника первым же выстрелом после того, как один из гусаров А и Б убьёт другого. Второе слагаемое равно вероятности того, что гусар В не промажет своим вторым выстрелом, после того как он, так и его противник сделают по промаху. Третье слагаемое равно вероятности того, что гусар В поразит цель своим третьим выстрелом, после двух промахов с одной и другой стороны, и так далее.)

Вероятность того, что из этой дуэли победителем выйдет оставшийся в живых гусар А или Б, равна сумме ряда

0,9·0,4 + 0,9·0,42·0,1 + 0,9·0,43·0,12 + ... = 0,9·0,4 / (1 – 0,4·0,1) = 0,375.

(Первое слагаемое равно вероятности того, что второй гусар попадёт в цель после первого промаха гусара В, второе слагаемое равно вероятности того, что он убьёт противника после двух его промахов и одного своего непопадания, и так далее.)

Второго гусара сильно подводит то, что после первой мини-дуэли между гусарами А и Б тот из них, кто останется в живых, вынужден будет стрелять вторым после В. Это сильно снижает его шансы выжить. Так как в дуэли между гусарами А и Б у обоих равные шансы остаться в живых, то итоговая вероятность каждого из гусаров А и Б убить всех своих соперников равна всего лишь 0,375 / 2 = 0,1875.




Комментарии

гусар в

A plegisnaly rational answer. Good to hear from you.

Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.