Разноцветный шестиугольник

*

Сложность: 

Центры O1, O2 и O3 трёх непересекающихся окружностей одинакового радиуса расположены в вершинах треугольника. Из точек O1, O2, O3 проведены касательные к данным окружностям так, как показано на рисунке:

Известно, что эти касательные, пересекаясь, образовали выпуклый шестиугольник, стороны которого через одну покрашены в красный и синий цвета. Докажите, что сумма длин красных отрезков равна сумме длин синих отрезков.

Решение

Введём обозначения, как показано на рисунке:

Прямоугольные треугольники O1FX2 и O3Z1F равны между собой, поскольку O1FX2 = ∠O3FZ1 и O1X2 = O3Z1. Аналогично равны между собой треугольники O3DZ2 и O2Y1D, а также O1X1B и O3BY2.

Отсюда следует, что

X1B = BY2, Y1D = DZ2 и Z1F = FX2,

что можно переписать следующим образом:

X1A + AB = BC + CY2,

Y1C + CD = DE + EZ2,

Z1E + EF = FA + AX2.

Сложив полученные равенства и заметив, что

X1A = AX2, Y1C = CY2 и Z1E = EZ2

(как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки), получим:

AB + CD + EF = BC + DE + FA,

что и требовалось доказать.




Комментарии

Thanks for that! It's just the answer I neddee.

Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.