Прогрессия–729

*

Сложность: 

Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.

Подсказка 1

729 = 93.

Подсказка 2

Известный признак делимости: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число тоже делится на 9.

Решение

Утверждение задачи равносильно тому, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что число 10n – 1 делится на 729.

Если n = 81,то

10n – 1 = 9...9 (81 цифра) = 9 × 1...1 × 10..010...0...10...01.

Второй сомножитель в этом произведении состоит из 9 единиц, а третий представляет собой повторенное 8 раз число 108 плюс единица. Таким образом, второй и третий сомножители содержат в своей записи по 9 единиц (а третий ещё нули), поэтому их суммы цифр делятся на 9, а значит, и сами эти числа делятся на 9. Таким образом, 1081 – 1 делится на 93 = 729.

Так как для любого натурального k число 1081k – 1 очевидным образом делится на 1081 – 1, то тем самым доказывается утверждение задачи.




Комментарии

лох

лох

лох

Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.