Прогрессия–729
*
Докажите, что в арифметической прогрессии с первым членом, равным 1, и разностью, равной 729, найдётся бесконечно много членов, являющихся степенью числа 10.
729 = 93.
Известный признак делимости: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число тоже делится на 9.
Утверждение задачи равносильно тому, что существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что число
Если n = 81,то
10n – 1 = 9...9 (81 цифра) = 9 × 1...1 × 10..010...0...10...01.
Второй сомножитель в этом произведении состоит из 9 единиц, а третий представляет собой повторенное 8 раз число 108 плюс единица. Таким образом, второй и третий сомножители содержат в своей записи по 9 единиц (а третий ещё нули), поэтому их суммы цифр делятся на 9, а значит, и сами эти числа делятся на 9. Таким образом,
Так как для любого натурального k число
Комментарии
лох
лох
лох
Добавить комментарий