Шестизначный палиндром

*

Сложность: 

Найдите шестизначное число, являющееся палиндромом и точным квадратом.

Напомним, что «палиндромом» называется одно слово, фраза или выражение, одинаково читающееся с начала и с конца (без учёта пропусков между словами и знаков препинания). В данной задаче речь идёт о числе, одинаково читающемся слева направо и справа налево.

Решение

698 896 = 8362.

Ответ можно получить довольно быстро примерно следующим образом. Во-первых, заметим, что точные квадраты могут оканчиваться только пятью цифрами (ноль на конце мы не рассматриваем, поскольку искомое число должно быть палиндромом):

  • Если число оканчивается на 1 или 9, то его квадрат оканчивается на 1.
  • Если число оканчивается на 2 или 8, то его квадрат оканчивается на 4.
  • Если число оканчивается на 5, то его квадрат оканчивается на 5.
  • Если число оканчивается на 4 или 6, то его квадрат оканчивается на 6.
  • Если число оканчивается на 3 или 7, то его квадрат оканчивается на 9.

Во-вторых, корень из искомого числа должен быть трёхзначным числом (назовём этот корень x). При этом:

  1. Если 317 ≤ x < 448, то x2 начинается с 1.
  2. Если 448 ≤ x < 548, то x2 начинается с 2.
  3. Если 548 ≤ x < 633, то x2 начинается с 3.
  4. Если 633 ≤ x < 708, то x2 начинается с 4.
  5. Если 708 ≤ x < 775, то x2 начинается с 5.
  6. Если 775 ≤ x < 837, то x2 начинается с 6.
  7. Если 837 ≤ x < 895, то x2 начинается с 7.
  8. Если 895 ≤ x < 949, то x2 начинается с 8.
  9. Если 949 ≤ x < 999, то x2 начинается с 9.

Поскольку искомое число является палиндромом, то из этого списка нужно проверить лишь числа, подпадающие под пункты 1, 4, 5, 6 и 9. При этом для первого пункта проверяем только числа, заканчивающиеся на 1 или 9, для четвёртого — на 2 или 8, для пятого — на 5, для шестого — на 4 или 6, для девятого — на 3 или 7. Получается следующий список чисел, которые нужно просто честно проверить:

1 пункт4 пункт5 пункт6 пункт9 пункт
319
321
329
331
339
341
349
351
359
361
369
371
379
381
389
391
399
401
409
411
419
421
429
431
439
441
638
642
648
652
658
662
668
672
678
682
688
692
698
702
715
725
735
745
755
765
776
784
786
794
796
804
806
814
816
824
826
834
836
953
957
963
967
973
977
983
987
993
997




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.