Сумма нечётных чисел

*

Сложность: 

Посмотрите на таблицу:

    1 = 12
    1 + 3 = 4 = 22
    1 + 3 + 5 = 9 = 32
    1 + 3 + 5+ 7 = 16 = 42

Может быть, эта закономерность (сумма подряд стоящих нечётных чисел, начиная с 1, равна квадрату их числа) сохраняется и дальше. Как это проверить?

Решение

Нам нужно найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 2n − 1 и убедиться, что она равна n2. Это можно сделать различными способами. Мы выбрали геометрический.

Возьмём квадрат из n2 клеток и заштрихуем клетки так, как это сделано на рисунке для n = 6:

Квадрат при этом распадается на чередующиеся по цвету участки. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из одной клетки, второй — из 3 клеток, третий — из 5 клеток и так далее, последний n-й участок состоит из 2n − 1 клеток. Следовательно, число клеток в квадрате равно

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n − 1

Это убеждает нас, что нужное равенство выполняется всегда.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.