Сумма нечётных чисел

Нам нужно найти сумму всех нечётных чисел от 1 до 2n − 1 и убедиться, что она равна n². Это можно сделать различными способами. Мы выбрали геометрический.

Возьмём квадрат из n² клеток и заштрихуем клетки так, как это сделано на рисунке для n = 6:

Квадрат при этом распадается на чередующиеся по цвету участки. Сосчитаем количество клеток в них, начиная с левого верхнего угла. Первый участок состоит из одной клетки, второй — из 3 клеток, третий — из 5 клеток и так далее, последний n-й участок состоит из 2n − 1 клеток. Следовательно, число клеток в квадрате равно

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 2n − 1

Это убеждает нас, что нужное равенство выполняется всегда.