Без уравнений
*
Опубликовано:
09.12.2011
Категория:
Сложность:
Следующие две задачи надо решить с помощью «чистых» рассуждений, без использования уравнений.
1. Если некоторое двузначное число прочесть справа налево, то полученное «обращённое» число будет в 4,5 раза больше данного. Что это за число?
2. Произведение четырёх последовательных целых чисел равно 3024. Найти эти числа.
Подсказка
1. Известный признак делимости на 9: целое число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Решение
1. Чтобы найти искомое число, можно выстроить следующую цепочку рассуждений:
- Искомое число больше 10, так как оно двузначное, а «обращённое» число не может начинаться с нуля.
- Оно меньше 23, поскольку 23 × 4,5 = 103,5 — число трёхзначное.
- Искомое число чётное, так как при умножении его на 4,5 получается целое число.
- Обращённое число по условию в 9 раз больше половины данного числа, значит, обращённое число кратно 9.
- Так как обращённое число кратно 9, то сумма его цифр делится на 9.
- Поскольку искомое число состоит из тех же цифр, что и обращённое, то и оно делится на 9.
- Между 10 и 23 есть только одно число, делящееся нацело на 9, — число 18. Легко убедиться, что оно удовлетворяет условиям задачи.
2. Для решения этой задачи можно предложить следующую схему рассуждений:
- Среди искомых чисел не может быть числа 10, поскольку тогда их произведение оканчивалось бы на 0.
- По той же причине среди них не может быть чисел, оканчивающихся на 5.
- Искомые числа должны быть меньше 10, так как произведение чисел от 11 до 14 намного больше, чем 3024.
- Значит, допустимыми являются только две группы чисел: 1, 2, 3, 4 и 6, 7, 8, 9. Легко проверить, что условию задачи удовлетворяет только вторая группа.
Комментарии
Отличные задачи!
Добавить комментарий