Сумма квадратов

*

Сложность: 

Найти n + 1 последовательных чисел, сумма квадратов которых равна сумме квадратов следующих n чисел.

Решение

Обозначим первое из искомых чисел через x. Должно выполняться равенство:

x2 + (x + 1)2 + ... + (x + n)2 = (x + n + 1)2 + (x + n + 2)2 + ... + (x + 2n)2.

Перенесём все слагаемые из левой части, кроме первого, в правую часть:

x2 = [(x + n + 1)2 − (x + 1)2] + ... + [(x + 2n)2 − (x + n)2].

Преобразуем содержимое каждой квадратной скобки по формуле разности квадратов a2b2 = (a + b)(ab):

x2 = n (2x + n + 2) + ... + n (2x + n + 2n),

или

x2 = n [(2x + ... + 2x) + (n + ... + n) + (2 + 4 + ... + 2n)].

(в каждой круглой скобке по n слагаемых). В последней круглой скобке — сумма n членов арифметической прогрессии:

2 + 4 + ... + 2n = (2 + 2n) n / 2 = (n + 1) n.

Таким образом,

x2 = n [2xn + n2 + n (n + 1)],

или

x2 − 2n2x − 2n3n2 = 0.

Решая квадратное уравнение

x2 − 2n2xn2(2n + 1) = 0,

получаем x1 = n (2n + 1) и x2 = −n, где n = 1, 2, 3, ... Второе значение корня, будучи подставлено в исходное уравнение, приводит к тождеству при любом n:

(−n)2 + (−n + 1)2 + ... + (−1)2 = 12 + 22 + ... + n2.

Значит, только первое значение корня может привести к решению задачи. Положим n = 1. Это значит — ограничимся в правой части исходного равенства одним, а в левой — двумя слагаемыми. При n = 1, x = 3 мы имеем:

32 + 42 = 52.

При n = 2 в правой части исходного равенства будет 2 слагаемых, а в левой — три:

102 + 112 + 122 = 132 + 142.

При n = 3 в правой части равенства будет 3 слагаемых, а в левой — четыре:

212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272.

Процесс образования равных сумм квадратов последовательных чисел можно продолжать сколь угодно далеко.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.