Многочлен с целыми коэффициентами

*

Сложность: 

Пусть f(x) = xn + a1xn−1 + ... + an — многочлен с целыми коэффициентами, а p — его рациональный корень. Докажите, что p — целое число и f(m) делится на pm при любом целом m.

Решение

Пусть p = r/s, где r и s — целые взаимно простые числа. Подставляя p в многочлен, получаем, что

rn + a1rn−1s + ... + ansn = 0.

Поскольку все слагаемые, начиная со второго, делятся на s, то и первое слагаемое — rn — делится на s. Однако, поскольку r и s взаимно просты, это возможно только, если s = 1. Следовательно, p — целое число.

Разделим теперь многочлен f(x) на (xp) с остатком:

f(x) = g(x) (xp) + A,

где A — целое число. Подставляя x = p, получаем, что A = 0 и, следовательно,

f(x) = g(x) (xp),

откуда следует и то, что f(m) делится на pm при любом целом m.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.