Многочлен с целыми коэффициентами

Пусть p = r/s, где r и s — целые взаимно простые числа. Подставляя p в многочлен, получаем, что

rⁿ + a₁rⁿ⁻¹s + ... + a_nsⁿ = 0.

Поскольку все слагаемые, начиная со второго, делятся на s, то и первое слагаемое — rⁿ — делится на s. Однако, поскольку r и s взаимно просты, это возможно только, если s = 1. Следовательно, p — целое число.

Разделим теперь многочлен f(x) на (x − p) с остатком:

f(x) = g(x) (x − p) + A,

где A — целое число. Подставляя x = p, получаем, что A = 0 и, следовательно,

f(x) = g(x) (x − p),

откуда следует и то, что f(m) делится на p − m при любом целом m.