Только единицы

*

Сложность: 

Докажите, что для любого простого числа p, отличного от двух и от пяти, существует натуральное k такое, что в десятичной записи числа pk участвуют только единицы.

Решение

Рассмотрим числа 1, 11, 111, ..., 111...111 (p+1 единица). Поскольку их больше, чем p, то какие-то два из них имеют одинаковый остаток при делении на p. Их разность имеет вид 111...11000...00. Но так как p взаимно просто с 10, то из того, что 111...11000...00 делится на p, следует, что 111...11 делится на p.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.