k целых чисел

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Сложность: 

Докажите, что из k целых чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на k.

Решение

Обозначим эти числа x1, x2, ..., xk и рассмотрим суммы x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3, ..., x1 + x2 + ... + xk. Если ни одна из них не делится на k, То какие-то две из них имеют одинаковые остатки при делении на k, и их разность делится на k. Поскольку их разность представляет собой сумму нескольких чисел данного набора, то тем самым доказательство завершено.




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