Степень натурального числа

*

Сложность: 

При каких значениях n выражение 2n + 1 является нетривиальной степенью натурального числа?

Решение

Только при n = 3.

В самом деле, если 2n + 1 = Ap, то

2n = Ap − 1 = (A − 1)(Ap−1 + Ap−2 + ... + A + 1).

Тогда Ap−1 + Ap−2 + ... + A + 1 — степень двойки, не равная 1, а поскольку A — нечётно, а указанная сумма чётна, то чётно количество слагаемых в ней. Пусть p = 2q. Тогда

2n = A2q − 1 = (Aq − 1)(Aq + 1),

то есть Aq − 1 и Aq + 1 — степени двойки, причём отличающиеся на два. Следовательно, это два и четыре, то есть 2n = 8.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.