Распиливание куба

*

Сложность: 

Один плотник решил распилить кубик размером 3 × 3 × 3 см на 27 кубиков с ребром в 1 см. Это делается очень просто: надо распилить куб по шести плоскостям, не разнимая его при этом на куски:

Можно ли уменьшить число распилов, если после каждого из них складывать отпиленные части по-новому?

Эту задачу придумал Ф. Хоуторн.

Решение

Разрезать куб менее чем шестью распилами нельзя. Это становится ясным, если вспомнить, что у куба шесть граней. Каждый распил означает проведение плоскости, то есть при каждом распиле появляется не более одной новой грани куба. Чтобы выпилить маленький кубик в самом центре большого куба (это единственный кубик, у которого вначале нет ни одной готовой грани), нужно провести шесть распилов.

Кубы размером 2 × 2 × 2 и 3 × 3 × 3 — единственные в том смысле, что, как бы вы ни складывали их части, прежде чем произвести очередной распил (разумеется, если при этом каждая часть куба где-то распиливается), всё равно, пока кубы не распадутся на единичные кубики, первый придётся пилить три раза, а второй — шесть.

Для куба 4 × 4 × 4 понадобится провести девять распилов, если его части всё время будут составлять куб. Переставляя их перед каждым распилом, можно уменьшить число последних до шести. Складывая куски куба, нужно следить за тем, чтобы каждый из них распиливался как можно ближе к середине, тогда число распилов будет минимальным. В общем случае для куба n × n × n минимальное число распилов равно 3k, где k определяется неравенством

2kn > 2k – 1.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.