Два брата и стадо овец
*
Два брата получили в наследства. стадо овец. Продав стадо, они выручили за каждую овцу столько долларов, сколько овец было в стаде. Желая упростить последующие расчёты, братья обменяли все деньги на десятидолларовые купюры. Лишь небольшую сумму (меньше 10 долларов) им пришлось взять серебряными монетами достоинством в 1 доллар. Разложив купюры и монеты на столе, братья приступили к дележу наследства. Каждый из братьев по очереди брал по десятидолларовой купюре до тех пор, пока на столе остались лишь серебряные монеты.
— Так нечестно, — сказал младший из братьев старшему. — Ты взял первую и последнюю купюры. Следовательно, тебе досталось на 10 долларов больше, чем мне.
Чтобы хотя бы частично восполнить ущерб, старший брат предложил младшему взять всё серебро, но младший был по-прежнему недоволен.
— Ты дал мне меньше 10 долларов, — заявил он,— и поэтому должен дать мне ещё.
— Правильно,— согласился старший брат.— Я выпишу тебе чек на такую сумму, что наши доли станут одинаковыми.
Так он и сделал.
Не могли бы вы сказать, на какую сумму выписал чек старший брат?
Обозначим через n число овец в стаде. Если b — последняя цифра числа n, то n можно записать в виде
Так как за каждую овцу братья получили столько долларов, сколько овец в стаде, общая сумма их выручки составила n2 долларов. Эту сумму они обменяли в банке на десятидолларовые банкноты и несколько серебряных долларов (число монет меньше 10).
Поскольку братья брали десятидолларовые купюры по очереди и первая и последняя купюры достались старшему брату, число десятков в n2 должно быть нечётным. Так как
n2 = (10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2,
отсюда следует, что число десятков должно быть нечётным в b2. Этому условию удовлетворяют лишь две цифры: 4 и 6 (их квадраты равны соответственно 16 и 36). Оба квадрата оканчиваются цифрой 6, следовательно, число n2 (сумма денег, вырученная братьями от продажи стада) также оканчивается цифрой 6. Таким образом, после обмена денег в банке у братьев было 6 серебряных долларов. После того как младший брат взял себе серебряные доллары, старший остался ему должен 4 доллара. Следовательно, чтобы уровнять полученные доли наследства, старший брат выписал младшему чек на 2 доллара.
Добавить комментарий