Два брата и стадо овец

*

Сложность: 

Два брата получили в наследства. стадо овец. Продав стадо, они выручили за каждую овцу столько долларов, сколько овец было в стаде. Желая упростить последующие расчёты, братья обменяли все деньги на десятидолларовые купюры. Лишь небольшую сумму (меньше 10 долларов) им пришлось взять серебряными монетами достоинством в 1 доллар. Разложив купюры и монеты на столе, братья приступили к дележу наследства. Каждый из братьев по очереди брал по десятидолларовой купюре до тех пор, пока на столе остались лишь серебряные монеты.

— Так нечестно, — сказал младший из братьев старшему. — Ты взял первую и последнюю купюры. Следовательно, тебе досталось на 10 долларов больше, чем мне.

Чтобы хотя бы частично восполнить ущерб, старший брат предложил младшему взять всё серебро, но младший был по-прежнему недоволен.

— Ты дал мне меньше 10 долларов, — заявил он,— и поэтому должен дать мне ещё.

— Правильно,— согласился старший брат.— Я выпишу тебе чек на такую сумму, что наши доли станут одинаковыми.

Так он и сделал.

Не могли бы вы сказать, на какую сумму выписал чек старший брат?

Решение

Обозначим через n число овец в стаде. Если b — последняя цифра числа n, то n можно записать в виде n = 10a + b, где a — некоторое целое неотрицательное число.

Так как за каждую овцу братья получили столько долларов, сколько овец в стаде, общая сумма их выручки составила n2 долларов. Эту сумму они обменяли в банке на десятидолларовые банкноты и несколько серебряных долларов (число монет меньше 10).

Поскольку братья брали десятидолларовые купюры по очереди и первая и последняя купюры достались старшему брату, число десятков в n2 должно быть нечётным. Так как

n2 = (10a + b)2 = 100a2 + 20ab + b2,

отсюда следует, что число десятков должно быть нечётным в b2. Этому условию удовлетворяют лишь две цифры: 4 и 6 (их квадраты равны соответственно 16 и 36). Оба квадрата оканчиваются цифрой 6, следовательно, число n2 (сумма денег, вырученная братьями от продажи стада) также оканчивается цифрой 6. Таким образом, после обмена денег в банке у братьев было 6 серебряных долларов. После того как младший брат взял себе серебряные доллары, старший остался ему должен 4 доллара. Следовательно, чтобы уровнять полученные доли наследства, старший брат выписал младшему чек на 2 доллара.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.