За круглым столом. Продолжение

*

Сложность: 

Если в предыдущей задаче один из участников переговоров сразу оказывается на своём месте, то можно ли в этом случае повернуть стол так, чтобы по крайней мере двое из участников переговоров оказались против карточек с их именами?

Напомним, что в предыдущей задаче 24 участника важных переговоров проводят заседания за круглым столом, сидя на одинаковом расстоянии друг от друга, причём место каждого участника за столом указано карточкой с его именем, и как-то раз после бурного обсуждения в кулуарах участники переговоров, сев за стол, обнаружили, что по ошибке каждый из них занял не своё место.

Решение

И в этом случае стол всегда можно повернуть так, чтобы по крайней мере двое из участников переговоров оказались против карточек со своими именами. Приводимое ниже доказательство применимо к любому чётному числу участников.

Будем рассуждать от противного. Пусть n — чётное число участников переговоров. Пронумеруем их числами от 0 до n – 1 в той последовательности по часовой стрелке, в какой они должны сидеть за столом. Если участник d оказывается на месте p, то стол нужно повернуть по часовой стрелке на угол r / n · 360° (где r = pd, если pd, и r = pd + n, если p < d), чтобы этот участник оказался против своей карточки.

Величины p и d могут принимать значения от 0 до n – 1, причём каждое значение они принимают один и только один раз. Но то же самое можно сказать и о переменной r, ибо в противном случае два участника переговоров одновременно могли бы оказаться против карточек со своими именами.

Суммируя выражения для угла поворота стола r по всем участникам, получаем:

S = SS + nk,

где S = n (n – 1) / 2 — сумма целых чисел от 0 до n – 1, а k — некоторое целое число (равное числу участников, чей номер больше номера места, на котором он оказался). Решая это уравнение относительно n, получаем:

n = 2k + 1

— нечётное число, что противоречит исходному предположению.




Комментарии

Ohhh, how pretty! I ca8;&n217#t wait to learn to knit!! My best friend taught me to crochet over 20 years ago and this summer when she is home for a visit, she will be teaching me to knit! Fun times ahead. LOL! Thanks for sharing!

Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.