За круглым столом. Продолжение

И в этом случае стол всегда можно повернуть так, чтобы по крайней мере двое из участников переговоров оказались против карточек со своими именами. Приводимое ниже доказательство применимо к любому чётному числу участников.

Будем рассуждать от противного. Пусть n — чётное число участников переговоров. Пронумеруем их числами от 0 до n – 1 в той последовательности по часовой стрелке, в какой они должны сидеть за столом. Если участник d оказывается на месте p, то стол нужно повернуть по часовой стрелке на угол r / n · 360° (где r = p – d, если p ≥ d, и r = p – d + n, если p < d), чтобы этот участник оказался против своей карточки.

Величины p и d могут принимать значения от 0 до n – 1, причём каждое значение они принимают один и только один раз. Но то же самое можно сказать и о переменной r, ибо в противном случае два участника переговоров одновременно могли бы оказаться против карточек со своими именами.

Суммируя выражения для угла поворота стола r по всем участникам, получаем:

S = S – S + nk,

где S = n (n – 1) / 2 — сумма целых чисел от 0 до n – 1, а k — некоторое целое число (равное числу участников, чей номер больше номера места, на котором он оказался). Решая это уравнение относительно n, получаем:

n = 2k + 1

— нечётное число, что противоречит исходному предположению.