Султан Фертилии возвращается

*

Сложность: 

Продолжение предыдущей задачи.

Предположим, что в Фертилии неукоснительно соблюдается воля султана, все родители обладают завидным долголетием, в достаточной мере сохраняют способность к деторождению и заботятся о прибавлении семейства вплоть до появления первого сына (после чего мать семейства утрачивает право на рождение детей). При рождении очередного ребёнка он с вероятностью ½ может быть девочкой и с той же вероятностью мальчиком. Спрашивается, сколько детей в среднем будет у каждой фертилийской матери по истечении достаточно большого промежутка времени?

Решение

Пусть n — число матерей в Фертилии за весь рассматриваемый промежуток её истории. Половина матерей имеют первенца сына, что составляет n/2 детей. Половина остальных матерей (n/4) имеет двух детей (младший ребёнок сын), что даёт прибавку к общему числу детей в 2n/4 ребёнка. У n/8 матерей Фертилии по 3 ребёнка, что составляет 3n/8 и т.д. Полное число детей равно сумме ряда 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ..., умноженной на n. При вычислении среднего числа детей, приходящихся на одну мать, эту величину необходимо разделить на n. Таким образом, среднее число детей у матерей Фертилии при n, стремящемся к бесконечности, стремится к сумме ряда 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + ....

Вычислить её можно с помощью следующего простого приёма. Разделим каждый член ряда на 2 и вычтем получившийся ряд из исходного. В результате мы придём к бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., сумма которой, очевидно, равна 1.

Поскольку сумма прогрессии составляет лишь половину суммы ряда, последняя равна 2. Итак, мы приходим к несколько парадоксальному выводу: в среднем у каждой фертилийской матери будет лишь 2 ребёнка.

Существует и другое, более краткое, решение той же задачи. Поскольку известно, что численность мальчиков относится к численности девочек как 1:1, мы заключаем, что при рассмотрении достаточно продолжительного периода истории Фертилии мальчиков будет столько же, сколько и девочек. Каждая мать имеет лишь одного сына. Следовательно, в среднем у неё должна быть и одна дочь. Таким образом, в среднем на каждую мать Фертилии приходится по два ребёнка.




Добавить комментарий

Plain text

  • Запрещены тэги HTML.
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
Type the characters you see in this picture. (verify using audio)
Type the characters you see in the picture above; if you can't read them, submit the form and a new image will be generated. Not case sensitive.